不等式組型方案設計題例析

方案設計題大多是聯系實際生活的開放題，往往以立意活潑、設計新穎、富有創新意識的實際生活應用題為載體，通過設置一個實際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求學生運用掌握的技能和方法，進行設計和操作，尋求恰當的解決.這就要求從多角度、多層次進行探索，展示思維的靈活性、發散性、創新性.它分為：1.設計圖形題；2.設計測量方案題；3.設計最佳方案題.本文就舉例對第3種：設計最佳方案題進行分析，此類題目往往要求回答出現的運費最少、利潤最少、成本最低、效率最高等，解題時常常與函數、方程、一元一次不等式及不等式組等聯系在一起，最主要是與不等式組聯系在一起，是現在中考題的熱點、難點.

解決方案設計這類問題時，首先要弄清題意，根據題意準確地寫出表達各種量的代數式，建構恰當的不等式組模型，求出未知數的取值范圍，利用未知數的整數解，結合實際問題確定方案設計的種數，從而得出方案.此類題目常常需要用到數形結合和分類討論等數學思想方法.

例 1：（2007年湖南省懷化市）2007年我市某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側，已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆.

（1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來.

（2）若搭配一個 種造型的成本是800元，搭配一個 種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

解：（1）設搭配A種造型x個，則B種造型為（50-x）個，依題意，得：

80x+50（50-x）≤349040x+90（50-x）≤2950，解這個不等式組，得：

x≤33x≥31，∴31≤x≤33.

∵x是整數，∴x可取31，32，33.

∴可設計三種搭配方案：

①A種園藝造型31個，B種園藝造型19個.

②A種園藝造型32個，B種園藝造型18個.

③A種園藝造型33個，B種園藝造型17個.

（2）方法一：由于B種造型的造價成本高于A種造型成本．所以B種造型越少，成本越低，故應選擇方案③，成本最低，最低成本為：

33×800+17×960=42720（元）.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43040（元）

方案②需成本： 32×800+18×960=42880（元）

方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）

∴應選擇方案③，成本最低，最低成本為42720元.

評析：這是一道關于園藝造型搭配方案的設計問題，由甲、乙兩種花卉的盆數一定，A、B兩種造型需要的甲、乙兩種花卉搭配的盆數一定，利用不等式知識，構建一元一次不等式組模型，進而根據不等式組的解集和造型的個數為正整數，確定具體的A、B兩種造型方案種數.

例 2：（2007年河北省）一手機經銷商計劃購進某品牌的A型、B型、C型三款手機共60部，每款手機至少要購進8部，且恰好用完購機款61000元．設購進A型手機x部，B型手機y部.三款手機的進價和預售價如下表：

（1）用含x，y的式子表示購進C型手機的部數；

（2）求出y與x之間的函數關系式；

（3）假設所購進手機全部售出，綜合考慮各種因素，該手機經銷商在購銷這批手機過程中需另外支出各種費用共1500元.

①求出預估利潤P（元）與x（部）的函數關系式；

（注：預估利潤P＝預售總額-購機款-各種費用.）

②求出預估利潤的最大值，并寫出此時購進三款手機各多少部.

解：（1）c=60-x-y.

（2）由題意，得：

900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，

整理得 y=2x-50．

（3）①由題意，得：

P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，

整理得P=500x+500．

②購進C型手機部數為：60-x-y =110-3x．根據題意列不等式組，得：

x≥82x-50≥8100-3x≥8，解得29≤x≤34．

∴ x范圍為29≤x≤34，且x為整數．（注：不指出x為整數不扣分.）

∵P是x的一次函數，k=500＞0，∴P隨x的增大而增大．

∴當x取最大值34時，P有最大值，最大值為17500元．

此時購進A型手機34部，B型手機18部，C型手機8部.

評析：本例以函數知識為主體，解題中明顯地滲透著函數及方程思想，考查了學生構建函數及不等式組模型的能力.注意文字與表格相結合，根據題意將建立的函數表達式轉換成恰當的不等式組模式，求出未知數的取值范圍；最后再結合實際問題確定方案設計的種數.這類方案設計問題還有一個特點，那就是要在幾種確定的方案中，選擇最優的方案，其一般解法是根據函數的性質確定最優方案，如果是一次函數可根據它的增減性來確定.如果是二次函數可根據它的最值性質來確定.本例中利潤的最大值，都包含有一個合理、恰當地安排購進三款手機發揮其最大效益的問題，真實的情景設計可激發學生探究新知的求知欲.

例 3：（2007年遼寧省十二市）某辦公用品銷售商店推出兩種優惠方法：①購1個書包，贈送1支水性筆；②購書包和水性筆一律按9折優惠．書包每個定價20元，水性筆每支定價5元.小麗和同學需買4個書包，水性筆若干支（不少于4支）.

（1）分別寫出兩種優惠方法購買費用y（元）與所買水性筆支數x（支）之間的函數關系式；

（2）對x的取值情況進行分析，說明按哪種優惠方法購買比較便宜；

（3）小麗和同學需買這種書包4個和水性筆12支，請你設計怎樣購買最經濟.

解：（1）設按優惠方法①購買需用y1元，按優惠方法②購買需用y2元，根據題意得：

y1=（x-4)×5+20×4=5x+60，

y2=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72．

（2）設y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，

∴x＞24．當x＞24整數時，選擇優惠方法②．

設y1= y2，∴當x=24時，選擇優惠方法①、②均可．

∴當4≤x≤24整數時，選擇優惠方法①．

（3）因為需要購買4個書包和12支水性筆，而12＜24，

購買方案一：用優惠方法①購買，需5x+60=5x×12+60=120元；

購買方案二：采用兩種購買方式，用優惠方法①購買4個書包，需要4×20=80元，同時獲贈4支水性筆；

用優惠方法②購買8支水性筆，需要8×5×90%=36元．

共需80+36=116元．顯然116＜120.

∴最佳購買方案是：用優惠方法①購買4個書包，獲贈4支水性筆；再用優惠方法②購買8支水性筆.

評析：這是一道典型的利用函數確定學生購買方案的問題.其基本思路是根據題目提供的兩種優惠方法確定相應的函數表達式，然后利用函數表達式的比較得出與水性筆支數相關的不等式，從而確定水性筆支數的取值范圍，再結合未知數取正整數的實際情況，確定購買方案.在解題中特別注意未知數取正整數，這是一個隱含條件.

最近幾年中考試題中出現了大量的不等式（組）模型下的數學方案設計應用題，為數學應用開辟了一塊廣闊的天地.

（作者單位：貴州省湄潭縣石蓮中學）