基于μ－λ指數分布的快餐店最佳服務時間模型

在市場經濟發展的今天，快餐業的競爭也日漸激烈，于是快餐店經營者希望采取的策略有一個定性、定量的分析。某些快餐店公宣布：若顧客等待超過一定時間，那么可以免費享受所訂的快餐。經營者希望對于此策略的利弊有一個定量的分析，本文在最佳服務時間模型的基礎上給出解決這個問題的一種方法：基于指數分布的快餐店最佳服務時間模型。

一、模型的建立與求解

模型假設:顧客平均到達率為為平均到達間隔；快餐店平均服務率為平均服務時間，且。設的最大值，當時承諾無吸引力，不妨設此時。設每位顧客的訂餐費為，成本為。

模型建立:可假設顧客等待時間（記做隨機變量Y）服從參數的指數分布，即

對于等待時間為Y的每位顧客設店方獲得的利潤為，則在宣布承諾時間為u的情況下有，利潤Q的期望值為，因為到達的平均時間間隔為c，所以單位時間利潤的期望值為。

建模的目的是確定承諾時間u使利潤最大。

下面根據c和u關系的假設確定函數c(u)。因為可以假定C(0)=0（理解為的時候顧客將無窮多），當時（因為這時相當于不作承諾），所以若假設在時，c與u成正比，并且由于的基本要求。必須。于是可表示為：

則，其中

中除u外均為已知常數，問題化為求u使最大。

模型求解：對于按u的不同范圍分別求解。

當，用微分法求出u的最優值應滿足:

且算出的最大值為:。

當，顯然，時，最大，且

比較和可知，可得最大值問題解應為：

進一步分析可作承諾的條件，記則（9）式變為:，

由此推出:，有，因為a為的函數，即

若定義:，則當給定時，快餐店可以作承諾的條件可以表示為平均服務時間d滿足，在這個條件下最優承諾時間可確定。與不作承諾時的利潤相比，此時的利潤為：。

二、模型檢驗

表

如表的假設下，問能否承諾服務了免費供餐。若店方有能力將平均服務時間縮短到d=30秒，問能否承諾。承諾時間的最優值和利潤可比目前增加值是否可求。

根據模型求解，可將代入可得

利用mathematica解方程得到，運行結果中，將其代入可得到（秒）。目前的平均服務時間秒，不滿足條件，所以不能對顧客做承諾。

當平均服務時間縮短至秒時，滿足條件，店方可做出承諾，且分，此時顧客的平均到達時間由原來的分縮短到分。此時利潤 ，即利潤提高了.

本文對于顧客到達規律、服務時間和排隊規律，以及在承諾“服務慢了將免費供餐”以后，承諾的時間與顧客的增多之間的關系做了合理的假設，給出了基于指數分布的快餐店最佳服務時間模型，并給出了模型的解析解，最后又進行了實例檢驗，從理論和數值上都驗證了改模型的合理性和可用性。這對于最佳服務時間模型的研究和應用有重要的意義。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。