利用幣制替換簡化Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ方程

[摘 要] 為了找到既有金融或經(jīng)濟意義，又能夠簡化Black-Scholes方程的方法或變量代換，本文利用幣制替換，引入新的變量，在此新變量下，Black-Scholes方程被極大地簡化，相應(yīng)的邊界條件也被給出，同時也指出，再做簡單的變量代換可將Black-Scholes方程化為標(biāo)準(zhǔn)的熱傳導(dǎo)方程。

[關(guān)鍵詞] 期權(quán)定價 Black-Scholes方程 偏微分方程 幣制替換

期權(quán)定價問題是金融數(shù)學(xué)的核心問題之一。其Black-Scholes理論是以Black和Scholes在1973年發(fā)表的著名期權(quán)定價公式為起點，并經(jīng)Merton進一步完善和系統(tǒng)化，成為人類使用最頻繁的數(shù)學(xué)工具之一。

求解期權(quán)定價的方法之一為偏微分方程法。但對于大多數(shù)金融問題，特別是美式期權(quán)的定價問題，通常不存在封閉形式的解，因此，求解期權(quán)定價問題必須求助于數(shù)值解法來求得近似解。當(dāng)用數(shù)值解法求解Black-Scholes方程時，如能簡化這個偏微分方程，則能取到簡化計算的功效。但在簡化偏微分方程的過程中，一般都是利用數(shù)學(xué)技巧。

源于金融學(xué)的偏微分方程——Black-Scholes方程，是否可以依據(jù)金融意義進行簡化，或簡化Black-Scholes方程的數(shù)學(xué)方法是否有金融意義？本文將利用幣制替換，簡化Black-Scholes方程。

一、Black-Scholes方程的基本概念

設(shè):市場為完全市場、無套利、無分紅、利率為常數(shù)；

S為某種基礎(chǔ)產(chǎn)品的價格，c為基于S的衍生產(chǎn)品的價格；

c=c(S，t)表示期權(quán)在時間t時的價值，它是其標(biāo)的資產(chǎn)價格S和時間t的函數(shù)；

標(biāo)的資產(chǎn)價格S遵循幾何Brown運動:。

μ和σ2分別表示標(biāo)的資產(chǎn)收益率的瞬時均值和方差；

W為遵循weiner過程的變量，即:，ε～N(0，1)；

無風(fēng)險收益率(基準(zhǔn)利率)為r。

Black-Scholes方程為：

⑴

邊界條件為：

歐式買入期權(quán)，c(ST，T)=max[0，ST-K]⑵

歐式賣出期權(quán)，p(ST，T)=max[0，K-ST]⑶

美式買入期權(quán)，c(St，t)≥max[0，St -K]⑷

美式賣出期權(quán)，p(St，t)≥max[0，K -St]⑸

其中T、t、K、ST、St、c、p分別為期權(quán)到期日、期權(quán)執(zhí)行日、標(biāo)的資產(chǎn)協(xié)議價格、標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日的價格、標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)執(zhí)行日的價格、買入期權(quán)的價格、賣出期權(quán)的價格。

對歐式買入期權(quán)t時刻(購買期權(quán)的時刻)的價格為：

c(S，t)=S N(d1)-K e-r (T-t) N(d2)

對歐式賣出期權(quán)t時刻(購買期權(quán)的時刻)的價格為：

p(S，t)= -SN(-d1)+K e-r(T-t) N(-d2)

其中：

N(d)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

二、幣制替換的利用

Black-Scholes方程是考慮標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)在時間t時的價格，當(dāng)考慮標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)在時間T(≥t)時的價格，并利用連續(xù)復(fù)利，即做變換——幣制替換：

Sf= Ser(T-t) 、cf=cer(T-t) ⑹

Sf、cf經(jīng)濟含義分別為連續(xù)復(fù)利下標(biāo)的資產(chǎn)S和期權(quán)c在時間T時的價格。它們是在時間T時交割標(biāo)的資產(chǎn)S和期權(quán)c的遠(yuǎn)期和約，或遠(yuǎn)期買入價，即Sf=Sf(t)、cf= cf(Sf），t。

將變換的Sf、cf替換Black-Scholes方程的S、c，進行計算，得：

代入Black-Scholes方程并化簡得：

⑺

邊界條件變?yōu)椋?/p>

歐式買入期權(quán)，cf(Sf|T，T)=max[0，Sf|T -K]⑻

歐式賣出期權(quán)，pf(Sf|T ，T)=max[0，K - Sf|T] ⑼

美式買入期權(quán)，cf(Sf|t，t)≥max[0，Sf|t-Ker(T-t)]⑽

美式賣出期權(quán)，pf(Sf|t，t)≥max[0，Ker(T-t)-Sf|t] ⑾

其中:cf 、pf的參數(shù)為Sf和τ，

Sf|T、Sf|t 分別表示時間為T、t時Sf的值。

再作變換t=-τ時，方程⑺即可化為標(biāo)準(zhǔn)型非線性熱傳導(dǎo)方程：

⑿

三、結(jié)論

為了找到利用有金融或經(jīng)濟意義的方法簡化Black-Scholes方程，本文利用了幣制替換，即在連續(xù)復(fù)利下標(biāo)的資產(chǎn)S和期權(quán)c在期權(quán)到期時間T時的價格作為新的變量，關(guān)于這些新變量的Black-Scholes方程就是原Black-Scholes方程的簡化，從而達(dá)到簡化Black-Scholes方程的目的。這種簡化Black-Scholes方程的方法有下列好處：

⑴變量的替換很直觀，有明顯的金融或經(jīng)濟意義，從而擺脫了純粹的數(shù)學(xué)技巧，能使更多的人理解和接受；

⑵簡化的方程簡單，也含有明顯的金融或經(jīng)濟意義；

⑶簡化的Black-Scholes方程可很簡單地將變量代換化為標(biāo)準(zhǔn)的線性熱傳導(dǎo)方程，這與“在金融中，很多拋物型方程都可以標(biāo)準(zhǔn)化為熱傳導(dǎo)方程”相符。

參考文獻：

[1]Black， F. and Scholes， M. S.， The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J]， Journal of Political Economy， 1973， 81(3)：637-654;

[2]Merton R. C. ， Continuous-Time Finance[M]. Rev. ed. Oxford: Blackwell， 1992

[3]史樹中:諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎與數(shù)學(xué)[M]，北京：清華大學(xué)出版社，2002

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文