三角創新問題賞析

“創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力.”在這個充滿挑戰的年代里，創新也是一種機遇，學生迎高考，關注創新試題是應該的也是必須的.君不見年年高考有新題，歲歲選拔有新招.也正是“新題”“新招”才將同學的成績拉開距離，那么三角中會有什么樣的新題呢？請看：

創新點一：入手基礎，挖掘概念深層內涵

例1 兩個質點M，N在單位圓上，都A(1，0)從出發且都按逆時針方向運動，質點M每秒走過α弧度，質點N每秒走過β弧度（其中0<α<β<π），如果兩質點都在第14秒時回到A點，并且在第2秒時均位于第二象限，α+β的值為__________.

解析 根據題意14α，14β均為2π的整數倍，故可設14α=2mπ，14β=2nπ（其中m，n∈Z），從而α=，β=.因為0<α<β<π，得0<2α<2β<2π，又由于兩點在第2秒時均位于第二象限，從而2α，2β均在第二象限，即<2α<2β<π，那么<α<β<，也就是<<<，得

點評 本題是基本概念問題，主要考查終邊相同角的表示.設計者將這一內容置于兩質點的運動之中，求解時，要注意理解“兩質點都在第14秒時回到A點”所體現出來的數學內容的實質，透過這一實質完成求解.可以看出，此題對這一概念進行了深層次的挖掘，考查十分到位.

創新點二：水乳膠溶，在向量中尋找落點

例2 已知向量=(1，1)，向量與向量夾角為，且 · =-1，若向量與向量=(1，0)的夾角為，向量=(cosA，2cos2)，其中A，C為△ABC的內角，且B=，求| +|的取值范圍.

解析 設=(x，y)，得x+y=-1及x2+y2=1，解得=(-1，0)或=(0，-1).由向量與向量=(1，0)的夾角為，知=(0，-1)，由B=，得A+C=，那么| +|2=|(cosA，2cos2-1)|2=cos2A+sin2C=1+cos(2A+).

由于0

點評 “因為有了運算，向量的力量無限”，這是教材對向量的評價.三角與向量十分親密，命題人常常將三角問題的“落點”放入向量之中.求解者不僅要有熟練的三角功底，同樣要掌握向量的運算技能.本題很特別，三角與向量水乳交融、難解難分.也許都說不清哪個是重點，但從整個求解過程上看，三角還是占了上風.

創新點三：跨科結合，巧用三角物理背景

例3 對于同一高度（足夠高）兩個定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質量為m1、m2(m1≠m2)的物體，另在兩個滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛一物體，已知m1∶m2=OB∶OA，∠AOB=90°且系統保持平衡（滑輪半徑、繩子質量均忽略不計），則懸掛物體的質量為______.

解析 如圖，依題意，我們可以作出受力圖，設兩繩子OA，OB對物體m的拉力分別為F1，F2，物體m方向向下和重力為F由系統平衡條件知:++=，設∠BAO=α，則∠ABO=90°-α，根據平行四邊形法則，

得cosα+ cos(-α)=，sin(-α)+ sinα+ =m2cosα-m1sinα＝0，m2cosα+m1sinα＝msinα=，cosα=1=()2+()2m=，即懸掛物體的質量為.

點評 三角是求解問題的工具，這是人們的共識.這個工具不僅僅體現在數學上，也體現在其它學科之中.跨學科設計綜合試題一直倍受高考命題人的關注，挖掘與利用三角的物理背景或以物理為載體設計三角問題具有“新鮮感”.本題結合平衡條件產生三角方程是求解的重點，合理、準確地利用三角方程是本題轉折點，稍有疏忽就會出錯.

創新點四：星光燦爛，多參數的完美統一

例4 已知x，y是三角形的兩邊，α，β是同一個三角形的兩角，且x，y，α，β之間滿足下列關系xsinα+ycosβ=0，xcosα-ysinβ=0，求α，β的值.

解析 由xsinα=-ycosβ，xcosα=ysinβ，平方相加得x2=y2，即三角形為等腰三角形.此時條件可轉化為sinα+cosβ=0，cosα-sinβ=0，再平方相加得sin(α-β)=-1.

∵0<α<π，0<β<π，∴α-β=-，即β=α+>，因此β為頂角，于是2α+β=π，結合α-β=-，得α=，β=.

點評 兩個方程，四個未知數，雖然是同一個三角形的邊與角，但并未指明“角對邊”，初看本題很難入手，當認清條件后，可以發現消去參數很重要，有了這一步，便得到了一個并不復雜的三角關系式，從而問題很快迎刃而解.

創新點五：接軌時代，在探索中產生結論

例5 在區間(0，)內是否存在實數對(c，d)，使①sin(cosc)=c；②cos(sind)=d；③c=sind同時成立？若存在，指出實數對(c，d)可能的數量；若不存在，說明理由.

解析 設函數f(x)=sin(cosx)-x，x∈[0，]，

任取x1x2∈[0，]，且x1sin(cosx2)-x2，即f(x1)>f(x2)，于是函數f(x)在區間[0，]單調遞減，又f(0)=sin1>0，f()=-<0，故函數f(x)在區間(0，)上與x軸有唯一交點，即存在唯一實數c使sin(cosc)=c成立.

同理可得在區間(0，)上存在唯一實數d，使cos(sind)=d成立.

由cos(sind)=d，得sin[cos(sind)]=sind∈(0，)，又因為在區間(0，)上存在唯一實數c使sin(cosc)=c成立，于是c=sind.

點評 存在性問題是近年出現的新型試題，在高考試卷中也時有出現.2008年理科卷第18題（文卷第20題）、2007年理科卷第18題（文卷第19題）都是存在性問題.面對存在性問題，我們可以“假定結論存在”或“既不否定也不肯定”進行推理，當出現矛盾時，結論不存在；否則，結論存在.本題充分利用了三角函數的單調性，緊緊地圍繞著單調性促使問題獲解.

創新點六：緊跟課標，從研究中獲得結果

例6 已知函數y=f(x)滿足：f(x)=sinπx，(-1≤x<0)f(x-1)+1，(x≥0).

（Ⅰ）分別寫出x∈[0，1)時，y=f(x)的解析式f1(x)和x∈[1，2)時，y=f(x)的解析式f2(x)；并猜想x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z時，y=f(x)的解析式fn+1(x)（用x和n表示）（不必證明）；

（Ⅱ）當x=n+(n≥-1，n∈Z)時，y=fn+1(x)，x∈[n，n+1)，(n≥-1，n∈Z)的圖像上有點列An+1(x，f(x))和點列Bn+1(n+1，f(n+1))，線段An+1Bn+2與線段Bn+1An+2的交點Cn+1，求點Cn+1的坐標(an+1(x)，bn+1(x))；

（Ⅲ）在前面(Ⅰ)、（Ⅱ）的基礎上，請你提出一個關于點列Cn+1(an+1(x)，bn+1(x))的問題，并進行研究，寫下你研究的過程.

解析 （Ⅰ）x∈[0，1)時，x-1∈[-1，0)，得f1(x)=f(x-1)+1=sinπ(x-1)+1=1-sinπx.

當x∈[1，2)時，x-1∈[0，1)，得x-2∈[-1，0)，f2(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+1+1=sinπ(x-2)+2=2+sinπx.

當x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z時，得x-(n+1)∈[-1，0)，

由fn+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=…=n+1+(-1)n+1sinπx.

猜測：fn+1(x)=n+1+(-1)n+1sinπx.

（Ⅱ）當x=n+時，fn+1(n+)=n+1+(-1)n+1sinπ(n+)=n，得An+1(n+，n).

又f(n+1)=f(0)+n+1=n+2+f(-1)=n+2，得Bn+1(n+1，n+2)，An+1(n+，n)，Bn+1(n+1，n+2)，此時kAA=kBB=1，kAB=kAB=4，所以Cn+1是平行四邊An+1An+2Bn+2Bn+1對角線的交點，得Cn+1(n+，n+).

（Ⅲ）本小問具有開放性，可提出的問題較多，如：

1. 在（Ⅱ）的條件下，點Cn+1與Cn+2之間具有怎樣的數量關系？

答案：Cn+1Cn+2=.

2. 在（Ⅱ）的條件下，點Cn+1與Cn+2之間具有怎樣的位置關系？

答案：Cn+1與Cn+2在直線y=x+上.

點評 本題將三角中的誘導公式與歸納推理聯合設計試題，具有一定新穎性與較高的抽象性.第三問又是結論多樣化的開放性問題.可以說與新課標跟得很緊，充分體現新課標精神與新課標理念.只要能克服抽象性，求解難度會有所下降.

創新點七：聯系實際，從生活中提煉精華

例7 某港口的水深y（米）是時間t(0≤t≤24，單位：小時)，的函數，下面是每天時間與水深關系表：

（1）選一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系;

（2）若船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在一天中那幾段時間可以安全的進出該港？

解析 （1）觀察所給數據，可以看出水深具有周期性.根據表中的數據作出圖象（即散點圖），如右圖，根據圖像可考慮用函數y=Asin(ωx+Φ)來刻劃水深與時間之間的對應關系，從圖中數據可得出:A=3，h=10，T=12，Φ=0.

由T==12，得ω=，故函數式為y=3sin+10.

（2）由于某船的吃水深度為7米，又船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的.因此，該船在一天中安全進出該港的水深y不小于11.5米，由3sin+10≥11.5sin≥2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).

由于0≤t≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17.

故某船一天中在1點到5點及13點到17點兩個時間段中都可以安全的進出該港.

點評 實際應用問題往往比較復雜，根據特點進行函數擬合而獲得具體函數模型，最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題是處理實際應用問題的一種常見的方法.由于現實生活中呈周期變化的現象很多，因而，借助三角函數來處理問題的方法必須掌握.

創新點八：牽手導數，共譜難題新篇章

例8 已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+，其中x∈R，θ為參數，且0≤θ≤．

（Ⅰ）當cosθ=0時，判斷函數f(x)是否有極值；

（Ⅱ）要使函數f(x)的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；

（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f(x)在區間(2a-1，a)內都是增函數，求實數a的取值范圍．

解析 （I）當cosθ=0時， f (x)=4x3+，則f(x)在(-∞，+∞)內是增函數，故無極值.

（II）f′(x)=12x2-6xcosθ=6x(2x-cosθ)，令f′(x)=0，得x1=0 ，x2=.由0≤θ≤及（I），只需考慮cosθ>0的情況.

當x變化時，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如上表.

因此，函數f(x)在x=處取得極小值f()=

-cos3θ+.

要使f()>0，必有-cos3θ+>0，可得0

（III）由（II）知，函數f(x)在區間(-∞，0)與(，+∞)內都是增函數.

由題設，函數f(x)在(2a-1，a)內是增函數，則a須滿足不等式組2a-1

要使不等式2a-1≥cosθ關于參數θ恒成立，必有2a-1≥

綜上，解得a≤0或≤a<1，所以a的取值范圍是(-∞，0]∪[，1)

點評 三角命題常規都是以中檔題為主，在試卷中的排列也較為靠前.它會不會聯絡其它內容在難度上進行“改革”呢？本題就是典范，它將函數、導數網絡其中，以綜合題的形式與考生見面，既有難度也頗具新意.

好了，關于三角的創新試題就談這么多.我們知道“新”與“舊”是相對的，今天是新題就是明天的舊題.隨著教育改革的深入和高考制度的變化，新的試題會不斷地涌現，它既代表著試題設計的新潮，又代表著未來的試題設計方向.欲在當今考試制度下獲得勝利，鉆研創新試題很有必要的.

責任編校徐國堅

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