三角函數周期考題概覽

三角函數的周期是三角函數的一個重要性質，也是高考的熱點．縱觀多年的高考試題，各省試題都涉及三角函數周期的考查，題型有選擇、填空題，也有大題，對三角函數周期的考查要求依然保持了一個較高的要求和層次．主要類型有：（1）求最小正周期問題；（2）逆用周期性質求參數、求值等問題．下面舉例加以分類剖析，供同學們參考．

一、求三角函數的周期性問題

1. 公式法求周期.

若函數經過變形，可化為y=Asin（x+）+B或y=Acos（x+）+B這種形式時，則它的周期T=；若可化為y=Atan（x+）+B這種形式時，則它的周期T=．這就要求我們先根據三角公式將已知式轉化為一個角的一個三角函數的形式，再利用公式去求．這是最常見的求周期題型，也是高考考查的熱點．

例1 已知函數f （x）=（sinx-cosx）sinx，xR，則f （x）的最小正周期是．

分析 通過三角公式的變換將原函數化為單一函數，再用周期公式T=求得．

解析 ∵ f （x）=sin2 x-sin x cos x =-sin2x=-sin（2x+），故函數的最小正周期T==，故填．

評注 （1）將函數化成sin（x+）這種單一函數的形式后，求函數的最小正周期就可用周期公式T=.由于sin（x+）中值的大小對周期沒有影響，因此在求周期時我們可以不求出具體的值；（2）求三角函數的最小正周期，一般通過恒等變形，等價化歸為基本三角函數或形如y=Asin（x+）+B的函數來解決．這就要求我們熟練掌握三角公式及恒等變形的方法，并注意變形前后的等價性，這也是它倍受命題老師青睞的原因．

2. 圖像法求周期.

利用函數y=f （x）圖像，通過觀察分析圖像循環往復的x軸的最小長度，也可以直接得出函數的周期．對于一些含有絕對值的三角函數周期問題，常可借助于三角函數的圖像來解決．

例2 設函數f （x），則f （x）=sin3x+sin3x為（）

A． 周期函數，最小正周期為

B． 周期函數，最小正周期為

C． 周期函數，數小正周期為2

D． 非周期函數

分析 本題給出的函數既有三角函數的性質，又具備絕對值函數的特性，不妨根據絕對值的性質對內部進行分類討論．

解析 當sin3x≥0，即≤x≤+（kZ）時，y=2sin3x；當sin3x＜0，即-+＜x＜（kZ）時，y=0，故y=2sin3x，≤x≤+，0，-+＜x＜，（kZ）．結合圖像（如下圖），選A．

評注 （1）若是周期函數，其圖像必呈“周而復始”的特征，所以利用函數的圖像判定函數周期也不失為一種好辦法；（2）一般地，函數y=Asin（x+）+B或y=Acos（x+）+B的最小正周期為T=.即給正弦或余弦加絕對值后，周期減半．函數y=Atan（x+）+B的最小正周期為T=，即給正切或余切加絕對值后，周期不變．同學們不妨驗證一下．

3. 定義法求周期.

如果對于定義域內的任一自變量x，都存在常數T，使f （x+T）=f （x）恒成立，那么T為函數f （x）的一個周期，通常我們所求的周期是指它的最小正周期．

例3 已知函數f （x）=log（sin x-cos x），判斷它的周期性，如果是周期函數，求出它的最小正周期．

分析 從式子f （x+T）=f （x）出發，設法找出周期T中的最小正數．

解析 ∵ f （x+2）=log[sin （x+2）-cos （x+2）]= f （x），∴ f （x）是周期函數，且最小正周期T=2π．

評注 利用上述方法，找到了函數f （x）的一個周期，但斷言2π是其最小正周期則缺乏依據，嚴格來說需用反證法證明（在高中階段不作要求）．一般來說，用定義求三角函數周期的過程相對繁瑣，在求三角函數的周期問題中并不常見，學習中注意把握尺度．

二、三角函數周期性的逆向應用問題

1. 求兩相鄰對稱軸（或對稱中心）間的距離.

例4 函數y=sin+cos圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（）

A． 3π B．C． D．

分析 若仔細去求具體的相鄰兩條對稱軸方程，進而求距離會顯得有點小題大做，透過現象看本質，其實還是關開周期的考查．

解析 函數y=sin+cos可化為y=sin（+），即為y=Asin（x+）的圖像輪廓，觀其實質，相鄰兩條對稱軸之間的距離即為半個周期，而T==3π ，則選A．

評注 三角函數的對稱性不限于其奇偶性．基本三角函數（y=sin x，y=cos x，y=tan x）的圖像都是中心對稱圖形，它們都有無窮多個對稱中心，且每一個對稱中心都必是其圖像的一個零點；而y=sin x，y=cos x的圖像又都是軸對稱圖形，又有無窮多條對稱軸，且每一條對稱軸必垂直于x軸且通過它的一個最高點或最低點等等，都可以通過周期性來描述．

2. 求參數的有關計算問題.

例5 為了使函數y=sinx（＞0）在區間［0，1］上出現至少50次最大值，則的最小值為（）

A． 98πB． C．D． 100π

分析 函數y=sinx（＞0）的相鄰兩個最大值之間的距離就是一個最小正周期，問題轉化為求［0，1］上至少經過了多少個周期．

解析 起始位置為（0，0），到第一個最大值經過，到第二個最大值，經過＋Ｔ，…到第50個最大值則經過了＋49Ｔ，∴應有＋49Ｔ≤1-0=1，即（+49）≤1，得≥，故選B．

評注 本題逆用周期性質求參數，是一種常見的題型．例如2008年北京卷文/理第15題第（1）問中，已知函數f （x）=sin2 x+sin x sin（x+）（＞0）的最小正周期為π．求的值（答案：1），同學們不妨試試看，這里不再贅述．

3. 周期法求值.

例6 已知函數f （x）=Asin2（x+）（A＞0，＞0，0＜＜），且y=f （x）的最大值為2，其圖像相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2）．

（I）求；

（II）計算f （1）+ f （2）+…+ f （2008）．

分析 對于第（I）問運用降冪公式，將已知函數式化簡，結合三角函數圖像求；對于第（II）問由于求和的項數太多，逐項想加決非明智之舉，也不是命題人的本意．我們猜測必有周期性的規律可循，故應將突破點放在尋找這個規律．

解析 （I）y=Asin2（x+）=-cos（2x+2）．

∵ y= f （x）的最大值為2，A＞0，∴+=2，A=2．

又∵其圖像相鄰兩對稱軸間的距離為2，＞0，∴（）=2，=．

∴ f （x）=-cos（x+2）=1-cos（x+2）．

∵ y= f （x）過（1，2）點，∴ cos（+2）=-1．

∴+2=2kπ+π，kZ，∴2=2kπ+，kZ，∴ =kπ+，kZ．

又∵ 0＜＜，∴ =．

（II）∵ =，∴y=1-cos（x+）=1+sinx．

∴ f （1）+ f （2）+ f （3）+ f （4）=2+1+0+1=4．

又∵ y= f （x）的周期為4，2008=4×502，

∴ f （1）+ f （2）+…+ f （2008）=4×502=2008．

評注 本題雖非無限，其求和的項數也是夠多的了，逐項相加的工作量之大是難以想象的．而妙用周期性解題，其速度之快，不是令人嘆為觀止嗎？

三、周期的綜合運用問題

例7 設函數 f （x）=a sin2x-b sin2x+c（xR）的圖像過點P（0，1），且 f （x）的最大值是2，最小值為－2，其中a＞0．

（1）求 f （x）表達式；

（2）若射線y=2（x≥0）與 f （x）圖像交點的橫坐標，由小到大依次為x1，x2，x3，…，xn，…求xn+2-xn的值，并求S=x1+x2+…+x10的值．

分析 對于第（1）問將函數化成sin（x+）的形式后結合最值列方程組求解；對于第（2）問可先求出射線y=2（x≥0）與 f （x）圖像交點的橫坐標，再觀察規律求解．

解析 （1）∵ f （0）=1，∴ c=1．

∴ f （x）=a sin2x-（1-cos2x）+1

=sin（2x+）+1-．

∴ +1-=2，-+1-=-2，而a＞0 ∴ 得a=，b=2．

∴ f （x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）

（2）由題意，知 f （xn）=2（nN *）．

即2xn+=2kπ+（k≥0，kZ）．

∴ xn=kπ+（k=0，1，2…）．

{xn}是以x1=，公差d=π的等差數列．

∴{xn+2-xn}=2π，S=x1+x2+…+x10=·10=5（+9π+）=π．

評注 （1）本題是三角函數與數列知識的交匯題型，利用了等差數列的結論，{an}即成等差數列的充要條件是通項an=kn+b，k，b是常數，其中k為該數列的公差；（2）題設中射線y=2（x≥0）與f(x)圖像交點恰好是圖像的最大值點，不難看出xn+2-xn=2π，若將題設中射線改為y=k（-2≤k≤2，x≥0）呢？其實從周期性來看——xn+2-xn表示射線與f （x）圖像兩相隔（隔1個點）交點的距離，而這就是一個周期，總有xn+2-xn=2π！

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文