讓學生參與到“問題”中來

[摘要]問題是數學的心臟，是創造思維的源泉，因此把數學教學建構在“問題”基礎之上，不僅符合學生認知規律，也符合“以人為本”的現代教育思想，而且也較好體現了“大眾數學”的精神。本文從培養學生問題意識和問題解決能力等方面對初中數學問題教學進行探討。

[關鍵詞]問題教學 問題意識 問題解決 策略方法

數學教學是數學思維過程的教學，學生學習數學的過程是頭腦中構建數學認知結構的過程。問題是數學的心臟，是創造思維的源泉，因此把數學教學構建在“問題”基礎之上，不僅符合學生認知規律，也符合“以人為本”的現代教育思想，而且也較好體現了“大眾數學”的精神。

一、讓學生參與到發現和提出“問題”中來

數學教學的根本目的之一在于教學生學會發現問題和提出問題。但是傳統的課堂教學，提問成了老師的專利，回答成了學生的任務，課堂上一問一答，看似熱熱鬧鬧，但對學生各方面能力的培養是極其不利的。陶行知先生說：“創造始于問題”。有了問題人們才會思考，才會自主探索、合作學習和相互交流；有了問題不一定就有創造，但沒有問題就一定沒有創造。因此，教學生會發現問題和提出問題，不僅是培養學生的數學素質，而且對學生們今后走上社會乃至一生都是十分重要的。從這個意義上說，發現問題比解決問題更為重要。我們應該讓學生帶著問題走進課堂，帶著更多問題走出課堂，正所謂課前多“問”，課后“問”多。整節課以問題為中心，不斷提出問題，分析問題和解決問題，充分發揮學生的主體性，讓學生通過自學與探究，主動地獲取新知識。

1.讓學生建立起“問題意識”

雖然行為決定意識，但反過來意識也支配行動。縱觀在數學上有成就的人，大腦中都裝滿了問題意識。因此，我們要教導學生：學習數學，腦子里必須始終充滿疑問，不要滿足于眼前的“撞”，而要探究在“撞”的背后究竟還有多少不懂，越是“撞”，越要多問幾個為什么；越是對自己的學習充滿疑問，就越能夠找出多個疑點并由此切入而最終發現問題。

2.讓學生學會讀書質疑

從本質上講，學生要想學會數學，最終是靠自己去想懂，而不是僅僅靠老師去講懂。其中一條途徑是課上在老師指導下自主探索、獨立思考；另一條途徑是自己課下閱讀數學教材。實踐證明，后者比前者更重要，學生的問題更多來自學生在向課本討教之后。因此，教師應該教學生學會怎樣閱讀教材，讓學生在閱讀中發現并且提出問題。

3.讓學生學會發現問題的方法

教師教給學生提問的方法結合數學學科的自身特點，給學生提供質疑的“技術”保證，即教給學生提問的方法。

（1）否定結論法。這是美國人首先提出并建議在學校中推行的方法，比如對于結論未定的問題，如果尋找不到支持某結論成立的實例，可以從反面思考，尋找或構思出否定結論的實例；或者從題目的某些條件或結論入手，對所給錯誤結論，逐一加以否定，從而作出正確的選擇。

（2）開放問題法。在對“原問題”的條件、結論和解法三個維度實施開放的過程中，可以連帶產生許多新的問題。深入研究一個開放問題，能夠加強對該問題涉及的整個知識塊的把握，從而達到以點帶面的效果。

（3）批判質疑法。不迷信教師，不迷信課本，敢于挑戰權威。從“不能”處求得可能，從“嚴格”中發現疏漏。

（4）歸納猜想法。人從小就有很好的歸納猜想能力，這是一種人類認識世界的基本能力。“歸納——猜想——證明”被稱為數學家的活動，一直是數學發現的最基本的模式。但在平時的教學中，由于教師重視不夠，學生從普遍現象中發現規律的能力得不到有效培養，使他們的歸納猜想能力沒能得到提高甚至受到削弱。例如，在學習了三角形內角和定理后，教師可以讓學生通過觀察和實驗去探索四邊形、五邊形，六邊形等多邊形的內角和問題，然后通過歸納得到多邊形內角和定理。通過探究歸納，不僅可以培養學生的數學思維能力，科學探索精神，而且可以使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，從而建立自信心，這對于培養學生形成完整的獨立人格具有重要的作用。

成功的質疑教學應該讓學生盡情表現自我，充分發表意見；教師要適應學生，而不是學生適應教師。因此，教師要盡可能讓每個學生把想法講完，把話說盡，千萬不能因為問題提得不好而當頭一棒，應該最大限度地保護和培養學生的“問題意識”。

二、讓學生參與到“問題”的設計與解決中來

1.設計問題要從學生原有的知識和經驗入手

新知識又是舊知識的自然延續和升華，因此從學生原有的知識和經驗入手設計問題，可以讓學生親歷知識的發生發展過程，使學生在知識的發生發展過程中獲取知識，在探索中獲得快樂。因此，師生精心設計課堂教學的每一個問題，特別是學生身邊的實際問題，則可以讓數學教學格外生動、有趣。例如，“由于水資源的缺乏，需要從A地向B、C兩地鋪設地下飲水管道。經測定△ABC為等邊三角形，問如何設計，才能使鋪設線路最短？”教師要精心組織學生設計方案，通過組織方案的設計、展示反饋、講評，使學生體會到我是一名“工程師”。

在數學問題的設計中，教師要注重指導學生把數學思想方法和數學模型用于探究所提出的問題。例如，在學生已經掌握三角形中邊角關系及平面上周角的有關知識后，可給出這樣的問題：“有若干個城市，它們之間的距離彼此互不相等。如果從每個城市都起飛一架飛機到離該城市最近的城市降落，證明：每個城市降落的飛機都不超過五架。”這個問題可以通過構造平面幾何模型，應用簡單的幾何知識得到解決。

2.讓學生參與到實際生活中設計并解決問題

從數學教育的角度看，問題解決的意義在于學生以積極探索的態度，綜合運用已經具有的數學基礎知識和基本技能，創造性地解決來自數學課或實際生活和生產實際中的新問題的學習活動。

例1.小明家使用的是分時電表，按平時段（6：00－22：00）和谷時段（22：00－次日6：00）分別計費，平時段每度電價為0.61元，谷時段每度電價為0.30元，小明將家里2008年1月至5月的平時段和谷時段的用電量分別用折線圖表示（如圖1），同時將前4個月的用電量和相應電費制成表格（如表1），根據上述信息，解答下列問題：

（1）計算5月份的用電量和相應電費，將所得結果填入表1中；

（2）小明家這5個月的月平均用電量為_______度；

（3）小明家這5個月的月平均用電量呈_______趨勢（選擇“上升”或“下降”）；這5個月每月電費呈_______趨勢（選擇“上升”或“下降”）；

（4）小明預計7月份家中用電量很大，估計7月份用電量可達500度，相應電費將達243元，請你根據小明的估計；

（5）計算出7月份小明家平時段用電量和谷時段用電量。

分析：由題目我們知道電費與用電量之間存在著一定的函數關系，只不過要分兩種方式計算：總電費=0.61×平時段用電量+0.30×谷時段的用電量。只要代入一個月的兩個時段的用電量，就可以計算出該月的電費。（具體解答略）

數學教育越來越強調數學的應用，這是當前國際數學教育的重要動向。義務教育階段的數學課程，特別強調學生應用數學的意識的培養。學生的應用意識主要表現在：①認識到現實生活中蘊涵著大量的數學信息、數學在現實世界中有著廣泛的應用。②面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。比如學生學習了等邊三角形和直角三角形知識以后，可以利用所學知識解決問題。③面對新的數學知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應用價值。比如實際生活中的美化環境，花園的設計工作；節約資源，降低工程造價；建造房屋時，怎樣使居室透光面積最多；環境污染問題的調查；節約用水等現實生活中的應用問題。因此，教師要有意識、有計劃地布置學生進行社會實踐調查，作一些數據統計分析，例如我國人口的變化，某地區的經濟發展狀況，人才市場的需求，環境綠化等，讓學生自主發現問題，提出問題并找到解決問題的策略和方法，寫成報告，上交有關部門參考。

3.使學生參與到數學開放題的探究中來

條件、結論、解題的方法策略諸項目中，部分或全部不封閉（不惟一、不確定）的數學問題稱為數學開放題。開放題內容豐富、題材廣泛、背景新穎，貼進學生生活實際；形式多樣，有文字、表格、圖畫、對話等，不像封閉性習題形式單一，敘述呆板；同時，開放題解法靈活，不單靠記憶、套模式來解題，深受學生喜愛。由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度、全方位的分析探索，獲得多種結論，這就為學生提供了充分發揮創新意識和創新精神的時空途徑。開放性問題以其良好的教學功能和價值正越來越受到廣泛的重視和應用。

例2.如圖，點M是直線Y=2X+3上的動點，過點M作MN垂直X軸于點N，Y軸上是否存在點P，使P、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形。小明發現：當動點M運動到（-1，1）時，Y軸上存在點P（0、1）此時有MN=MP，能使△MNP為等腰直角三角形。在Y軸和直線上還存在符合條件的點P和點M，請你寫出其他符合條件的點P的坐標。

分析：該題結論明確，條件開放，只須抓住△MNP為等腰直角三角形這一條件，分NP為底邊和腰兩種情況討論。此類題就用數學常用的分析法，從問題的結論出發，逆向思維，根據結論和已知條件尋找使結論成立的其他條件。這種逆向思考，有助于學生數學創造性思維的發展。

例3.寫出經過點（-1，1）的函數

分析：該題由于函數解析式未告知，于是所確定的函數可能是直線，雙曲線，拋物線等，結論開放，可分情況討論，即考查數學的基本方法——待定系數法，又訓練了學生的發散性思維和對所學知識的應用能力。

例4.如圖、點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。

分析：這是條件和結論開放題，雖然結論是兩個三角形全等，但是哪些三角形全等不確定。故利用判定兩三角形全等的定理來找結論成立的條件。這就要求對幾何圖形的定義，性質、判定等內容相當熟悉，同時，在思考過程中轉向發現，猜想和探究，培養學生一題多解，多變的能力。

4.使學生參與到解題思維的全過程中來

初中數學教學應該以學習過程和方法為主，尤其在一些典型的數學問題教學中，應注意傳授學生比較完整的解決實際問題的過程和常用方法，對于一些技巧性的問題和繁雜的證明不應該過多強調，以提高學生解決實際問題的能力。例如教學一元二次方程時，為了讓學生經歷一個完整的科學研究的過程，教師可引用生活中的實例：學校準備在宿舍樓后面修建一個面積為50平方米的長方形自行車棚。一方面，利用宿舍樓的一堵后墻，另一方面，利用已有總長為25米的鐵圍欄，請你設計：如何搭建較合適？學生列出方程后跟學一元一次方程比較，很自然提出疑問，這是個什么方程？這種方程如何求解？再現“過程”，學生就有了一個積極思考的過程。教師引導學生的觀察、類比和猜想，進而鼓勵學生提出合理的疑問并積極探究。正是這樣通過學生的自主探究，合作學習，討論交流，能夠充分展示學生數學思維的全過程。

三、讓學生參與到“問題”的反思和總結中來

數學學習的反思是數學思維活動的核心和動力，是一種重要的數學元認知能力，也是學生進行高水平、高效率、高質量的數學認知所必不可少的環節和本領。荷蘭著名數學教育家費賴登塔爾教授指出：“反思是數學思維活動的核心和動力”，“通過反思才能使現實世界數學化”。新課標在第三學段(7一9年級)的問題解決部分明確提出：“通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經驗。”

1.使學生參與到課堂練習中來

組織學生自我編題，自我解答，相互交流，讓學生自我反饋、自我矯正；在概念的辨析、法則的應用、規律的探究、各類數學題的練習中正確掌握數學分析方法，發現解題規律與技巧，以及如何糾正錯誤等。

2.使學生參與到課堂小結中來

通過師生的共同探究、合作學習，讓學生談一談學習收獲和體會。在教師的引導下讓學生歸納所學數學概念、知識重點，解題方法和解題規律以及存在的問題。這樣可以發現問題，以便及時反饋和矯正。

數學因問題而豐富多彩和具有價值；數學也因問題變得越來越有教頭、學頭和奔頭。因此，不論是抓問題還是抓數學理論與實踐相結合，學生如果能夠學會自己發現問題，并通過獨立思考自己去發現知識的形成過程和來龍去脈，能夠運用舊知識去解釋一些新知識或提出一些新見解，并且能夠建立屬于自己的數學知識結構和知識體系，這已經是學習的創新了。讓學生參與到“問題”中來，這是我們數學教師研究和實踐的永恒課題。

參考文獻：

[1]教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［M］.北京師范大學出版社，2001.[2]于琛.數學問題的解決［M］.東北師范大學出版社，2000.[3]錢珮玲，邵光華.數學思想方法與中學數學［M］.北京師范大學出版社，2006.

(作者單位：浙江天臺縣坦頭中學）