極限思想方法在圓面積公式推導中的運用

[摘要]數學思想方法在培養學生創新思維意識、探究能力和動手操作方面是不可或缺的重要環節。數學思想方法在小學教學中理應得到重視，而數學教師要把所教的內容放在更為深廣的學術背景上。本文嘗試以圓面積公式推導為例闡釋的極限思想在初等數學教學中的運用，旨在與廣大數學教師進行商榷。

[關鍵詞]數學思想方法極限思想 小學數學教學

數學思想是指現實世界的空間形式、數量關系及其模式結構反映在人的意識中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是系統化、理論化、理性化了的數學知識，是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律性的理性認識。數學方法是指人們解決數學問題的步驟、程序和格式，認識世界、實施數學思想的技術和手段。國際數學教育委員會的研究成果指出：“在內容的選擇中，人們必須想到的不僅僅是我們希望學生獲得的知識，而且要想到跟那些題目結合在一起的思想方法”，這種數學修養，更適合目前的需要。當代國際數學教育的發展正傾向于使學生在掌握所要求的數學知識的同時形成對人的素質有作用的數學思想方法。

數學思想方法在培養學生的創新思維意識、培養學生的探究能力和動手操作方面是不可或缺的重要環節。小學數學的圓面積公式的推導中，由于學生身心發展的特點，沒有指出也沒有必要向小學高年級的學生直接指出其中運用了極限思想。但是，作為教師必須站在更高的高度。不僅知其然，而且要知其所以然。或許，有人認為教師只要熟悉自己所教的內容就可以了，沒必要高深的學問。這是一種膚淺的看法。對于教師而言，對其所教的內容不僅要知其然，而且要知其所以然，要把所教的內容放在更為深廣的學術背景上，這樣才能全面理解所學內容的價值和意義，才能致其左右而逢其源。

極限是微積分中最重要和最基本的概念，極限思想是微積分的基本思想。所謂極限思想是用聯系變動的觀點，把所考察的對象看作是某對象在無限變化過程中變化結果的思想。它來源于對過程無限變化的考察，而這種考察總是與某一特定的、有限的、暫時的結果有關。因此，它體現了“從有限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確立起來的一種辯證思想。縱觀微積分的全部內容，極限思想、方法極其理論貫穿始終，是微積分的基礎。

定積分的概念是一系列諸如面積、體積等幾何問題和變力做功等力學問題中提煉出來的，這個問題歸為求和式，即計算一個求和式的極限。

作為所求的近似值，并以σ的極限

數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。數學是一種人類活動，數學學習與其說是學習數學知識，倒不如說是學習數學的思維活動。日本數學家米山國藏認為，對學生而言，作為知識的數學，通常是出校門后不到一兩年很快忘掉了，然而，不管他們從事什么工作，那些深深地銘刻于頭腦的數學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地地發生作用，讓他們受益終生。

數學思想方法則有十分廣泛的普遍意義，即其不僅可以被用于數學的研究，而且可以被用于人類實踐活動的各個方面，數學學習方法顯然應被看成義務教育階段的根本任務，在數學課程中有充分的體現。盡管國內外的一些著作對現代數學思想方法進行了論述，但是他們的著眼點都是整個數學領域，很少從中小學數學教學的角度進行梳理和闡釋，尤其是用高觀點來俯瞰整個數學教學領域很少涉及。

我們設計圓的面積公式推導的一個教學片段，使學生體會“化曲為直”的思想，初步感受極限思想。

圓的面積

1.引入課題

師：“我們已經知道圓的周長的計算方法。但如果要求圓的面積，你知道怎么算嗎？”

師：“誰能說說，圓的面積指的是什么？”

圓所圍成的平面圖形的大小叫做圓的面積。

圓的面積究竟該怎么計算呢？

師：“今天，我們就來研究圓的面積。”（板書課題：圓的面積）

2.猜測求法

我們知道圓的半徑越大，面積也越大。我們可以猜測，圓的面積和半徑的大小可能會有某種關系。如果有某中關系，那到底又是什么樣關系呢？圓的面積有什么科學的計算方法嗎？

師：“平行四邊形的面積計算公式是什么方法推導出來的？三角形、梯形的面積呢？”

（用割補法推導，即把平行四邊形的面積轉化為求長方形的面積，而把三角形的面積和梯形的面積又是轉化成平行四邊形的面積推導出來的。）

設計意圖：這里實際上體現了化歸的思想。化歸是解決數學問題的一般方法，其基本思想是人們在解決數學問題時，常常將待解決的問題A，通過某種轉化手段，歸結為另一類問題B，而問題B是較容易解決或已有固定解決程式的問題，且通過B問題的解決可得到原問題A的解答。在這里，我們不進一步展開探討。

想：“圓面積公式可用什么方法來推導呢？”

“是不是可把圓轉化成學過的圖形推導出圓面積計算的方法來？”

“怎么推導呢？”

割補法

把一個圓平均分成16份。那么每一份都是一個小扇形。近似一個小等腰三角形。它的底等于圓周長的1/16。它能不能拼成已經學過的圖形呢？（如平行四邊形、長方形、梯形或三角形，而其面積保持不變。下以平行四邊形為例加以說明。

設計意圖：學生動手操作結果不一，反映了學生思維角度不一樣。極限意識的滲透能促使學生正確的“轉化”思想——圓形轉化為平行四邊形。

分成n等份。

圓的面積等于近似的平行四邊形的面積。

如果把這個圓繼續分下去，如分成32等份拼成的圖形會怎么樣？

我們可以看見，拼成的圖形會更接近平行四邊形。

如果，把這個圖形繼續分下去，如64等份，128等份，256等份……，以至無窮。一直這樣分下去，拼成的圖形又會越來越接近什么圖形？會越來越逼近平行四邊形。圓面積也就越來越逼近平行四邊形的面積。

而這個拼成的平行四邊形又該怎么算呢？

如果圓的半徑為r，那么，這個平行四邊形的底邊a=2πr÷2=πr，高為r。

在教學中，也可由學生自己把圓進行分割，拼成一個近似的長方形。在操作的基礎上，分析原來的圓和拼成后的圖形各部分的關系，推導出圓面積的計算公式。教學時，教師要重視學生的實際操作活動，給學生時間更充足些，讓學生通過猜測、操作（剪拼圓紙片）、觀察、驗證、討論、歸納的方法推導和探索圓面積的計算公式。我們也可利用計算機演示，化靜為動，激發學生想像，幫助學生把抽象的“極限思想”具體化，加深學生圓面積公式推導的認識。

設計意圖：引導學生通過割補的方法把圓的面積轉化為近似的平行四邊形，與學生一道推導圓面積計算公式。雖然，由于學生的年齡特征，教師在教學中不直接與學生講“極限思想”，但整個教學過程中無疑是體現和蘊涵了“極限思想”。

這里運用“無限分割”的思想方法，同時也體現了“化曲為直，化整為零，積零為整，逐漸逼近精確值”的教學思想。具體地，我們在這里求圓的面積，是先將圓分割成許多同樣的小扇形，再拼補成一個近視矩形，當圓分割成的扇形分份數增多時，每個小扇形的曲邊就會逐漸變直。所以，拼成的圖形就越接近平行四邊形。當圓分割成的小扇形的份數無限多時，所拼成的圖形便轉化成平行四邊形，從而就可以準確地求得圓的面積。體現的方法就是在小范圍內“化曲為直”，所用的思想就是極限思想。

作為數學思想是數學知識、數學方法的精髓和靈魂，其運用和發展有助于知識得到優化，有助于理性認識迅速構建，有助于將知識轉化為能力。筆者認為，研究現代數學思想在小學數學教學中的滲透和應用是很有意義和價值的。

參考文獻：

[1]王文省，郭文彬.數學思想方法及其功能[J].天津市教科院學報，2006，（2）.

[2]北師大全國統一（聯合）考試大綱和指南[M].北京：北京師范大學出版社.

[3]陳紀修，於崇華，金路.數學分析第二版[M].北京：高等教育出版社.

[4]孔企平，張維忠.數學新課程與數學學習[M].北京：高等教育出版社.

(作者單位：浙江永康市民主小學）