新課程理念下的數學抽象方法探究

[摘要]人類是通過抽象獲得對自然界的本質認識的。通過抽象，我們在思想上把個別的東西以個別性提高到特殊性，再從特殊性提高到普遍性，從而能夠真正地、深刻地理解和把握現實世界。數學科學是對客觀世界的空間形式和數量關系抽象的產物，數學的一切理論都是抽象思維活動的結果，高度抽象、逐級抽象是數學科學的基本特征。因此，抽象方法是數學活動的一般方法。

[關鍵詞]數學教學 數學理論 數學抽象

所謂抽象，是指在認識過程中，透過事物的現象，深入事物的里層，把事物的本質抽取出來的一種方法。通過數學抽象，可以培養學生的抽象意識，從而使學生在數學解題時有意識地區分主要和次要因素、本質和非本質因素，抓住事物的本質，自覺地把某些問題轉化為數學問題，抽象概括為數學模型的習慣。抽象意識是數學學科高度的抽象性的反映。

數學抽象是抽象方法在數學中的具體運用，也就是利用抽象方法把大量生動的關于現實世界空間形式和數量關系的直觀背景材料進行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提煉數學概念，構造數學模型，建立數學理論。

著名數學家歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時，撇開島區、陸地的其他屬性，僅僅抽取它們都是橋梁的聯結點，將其抽象成四個點。同樣，把七座橋抽象成七條線，線的長短、曲直在這里無關緊要，要緊的是點線之間的相互聯結。于是，一次無重復地走過七座橋的問題被轉化為不重復地一筆畫成上述圖形的問題。歐拉這一成功研究采用的就是數學抽象的方法。數學抽象是一種特殊的抽象，具體表現在它的內容、程度和方法上。

一、內容上的特殊性

數學抽象僅抽取事物或現象的量的關系和空間形式而舍棄其他一切。正如恩格斯指出：“數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。”這清楚地表明了數學抽象的特殊內容：數學的抽象完全舍棄了事物的質的內容，而僅僅保留了它們的量的屬性，即數學抽象的目的意向只是數量關系和空間形式。這種特殊的抽象內容決定了數學與其他自然科學的區別，也決定了數學抽象的特殊性；數學抽象具有量化特征和形式化特征。

二、數學抽象的特殊高度

和一般的自然科學相比，數學抽象的又一特點在于它所達到的高度，數學的抽象程度遠遠超過了自然科學中的一般抽象。

首先，數學抽象往往是在其他學科抽象基礎上的再抽象。例如，正比例函數是物理學中勻速直線運動和簡諧運動的再抽象。

其次，數學抽象具有逐級抽象的特點。在數學中，有些概念建立在對真實事物的直接抽象之上，從而具有較為明顯的直觀意義。但數學中還有許多概念則建立在較為間接的抽象之上，即建立在已有概念的抽象分析之上，從而使數學抽象具有層次性。例如，在平面幾何中，我們利用兩點間的距離去定義點到直線間的距離，再定義互相平行的兩直線的距離，進而去定義立體幾何中的諸距離概念。

更為重要的是，數學抽象的特殊高度表現在數學中一些概念與真實世界的距離是如此遙遠以致常常被看成“思維的自由想象物和創造往返”，這即為數學中所謂的“理想元素”（如無窮遠點等）。

三、數學抽象的特殊方法

在數學研究中，無論涉及的對象是否具有明顯的直觀意義，都只能依靠相應的定義去演繹推理，而不能求助于直觀。因此，從這個意義上講，數學抽象就是一種建構的活動，數學的研究對象是通過邏輯建構活動來得到構造的。我們可以把抽象分為：理想化抽象、強抽象與弱抽象、等價抽象、存在抽象等幾類。

1.理想化抽象

所謂理想化抽象，是指通過抽象得到的數學概念和性質，并非就是客觀事物本身存在的東西，而是在純粹理想的狀態下，對事物進行簡單化與完善化的加工處理，撇開事物的具體內容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本質的屬性，抽象出相應數學內容的方法。例如，幾何中的“點”、“直線”、“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，是人們利用理想化抽象出來的概念。

2.強抽象與弱抽象

所謂強抽象是指在已知概念中，加強對某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴大原概念的內涵來建立新概念的抽象方法。例如，從四邊形概念出發，從兩組對邊給予適當限制，則得平行四邊形和梯形的概念；若從平行四邊形概念出發，再對邊或角分別適當限制，得到矩形、菱形及正方形的概念。

所謂弱抽象是指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內涵來建立新概念的抽象方法。例如，從全等三角形的概念出發，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。

3.等價抽象

在思維中同類研究對象（具體的或抽象的個體）中抽取出來而舍棄其他非共同的屬性，這樣的抽象就是等價抽象。例如，自然數的概念就是用等置抽象的思想建立起來的。每個自然數實際上都是一類等價集合的標記，它反映這類集合中元素的數目是該類集合的類的標記，它反映這類集合中元素的數目，是該類集合的類的特征。例如，兩個三角形，若它們的對應角相等，對應邊成比例，那么這樣的兩個三角形具有相同的形象。把三角形的這種對應關系以及形象相同的特點抽象出來，就得到相似三角形的概念。

一般地，等價抽象具有3個重要的特性：（1）自反性。（2）對稱性。（3）傳遞性。

4.存在性抽象

這是指在研究數學問題時，有時抽象出來的數學概念，起初往往被認為是不存在的，這時可先用假設的方法肯定抽象出來的數學概念存在性，并由此發展出一定的數學理論，然后在理論和實踐中加以驗證，從而確認新的數學理論的合理性。例如，自然數“無限延伸”以及無理數、負數、虛數都是由存在性抽象方法建立起來的。

數學抽象方法在數學解題的應用十分廣泛，下面僅介紹理想化抽象在數學解題中的應用。例如，任選六個人在一起集合，試證其中要么至少有三個人彼此不認識，要么至少有三個人互相認識。思考與分析：此問題常稱為六人集合問題，現用理想化抽象的方法處理。我們把任選的六個人抽象為平面上任選的六個點，分別用字母A、B、C、D、E、F、來表示。如果其中有兩人互相認識，就在代表這兩人的兩點之間連一條紅色線段，否則就邊一條藍色線段。這樣六點中的任意兩點都要連線，不是連紅線就是連藍線。從這六點中任意取一點A，它與其他五點有5條連線（如上圖）。

由于5條線段只有兩種顏色，根據抽屜原理，其中至少有3條線段是同一顏色的。不妨設AC、AD、AE是三條藍色連線，那么CE、CD、DE三條連線中，只要有一條藍色的，就有一個三邊是藍色的三角形，這表明這個三角形的三個頂點代表的三個人互相都不認識；如果CE、CD、DE都不是藍色的，那么△CDE的三邊都是紅色的（圖中用虛線表示），這表明C、D、E三個人互相認識。如果三條同顏色的線段是紅色的，也可以用同樣的方法證明。

總之，數學教學不僅要造就學生良好的數學認知結構，更重要的是要讓學生逐漸學會科學的學習方法，以滿足后繼的學習需要，最終提高學生解決問題的能力。

參考文獻：

[1]沈云霞.中學數學教學理論與實踐.高等教育出版社，2002.

[2]羅增儒.數學教學論.陜西師范大學出版社，2003.

(作者單位：浙江金華市外國語學校）