淺談導數在不等式問題上的應用

導數作為高中數學新教材中的新增內容，為高中數學解題教學和教研注入了新的活力，為解決函數單調性、最（極）值、取值范圍等問題提供了新的工具。在處理與不等式有關的綜合問題時，往往需要利用函數的性質。因此，很多時候可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題。下面具體討論導數在解決不等式問題時的作用。

一、 利用導數證明不等式

1.利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間的導數值大于（或小于）0時，則該函數在區間上單調遞增（或遞減），因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后，再用函數單調性和極值達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數單調性，具體有如下幾種形式：

（1）直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性，利用單調性和極值，來證明不等式。

評注 這是一類學生較為容易接受的題型，因此從策略上說，只需通過移項作差，構造函數，再利用導數研究函數的單調性和極值即可。

（2）把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的。

例2 已知a，b為實數，且e＜a＜b，其中e是自然對數的底。

評注 本題為一個二元條件不等式，因此在解決這類問題時，主要是剝離出一個元來，視為主元，還需略從元，即以主元為變量，從元為常量，構造函數問題轉化為利用導數研究函數的單調性和區間最值。

2.利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式

導數的另一個作用是求函數的最值，因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值。當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉化為函數最值問題。

二、 利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m＞f(x)(或m＜f(x))恒成立，于是m＞f(x)的最大值（或m＜f(x)的最小值），從而將不等式恒成立問題轉化為函數求最值問題。因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法。

令h(b)=m2-2bm-3則h(1)=m2-2m-3≥0，h(-1)=m2+2m-3≥0，

解得m≥3或m≤-3，所以m的取值范圍是(-∞，-3]∪[3，+∞）。

評注 恒成立問題主要轉化為比函數的最大值還大（或比最小值還小）等類型后結合題目條件求出參數取值范圍。

總之，在證明不等式中，只要解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們都可以用導數作工具來解決，這種方法是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。