極限思維在物理問題中的應用

高中物理問題的過程較為復雜，若將這個復雜的物理全過程分解成幾個小過程，且在這些小過程中物理變化是單調的，研究問題時，選取全過程的兩個端點及中間的突變點來分析，得出的結果必然包含所要討論的物理問題，從而能使問題求解簡潔、直觀。這種分析問題的方法，就是所謂的極限思維方法。

在使用極限思維方法分析物理問題時，應注意所選取的物理過程中的物理量的變化應是單調的，若所選的過程既有增函數，又有減函數，這種情況下不能應用極限思維方法來處理的。

極限思維是一種較為直觀、簡捷的思維方法，在分析物理問題中常常應用到這種方法，特別涉及到選擇題的處理時，更能體現它的優越性。

例1 如圖1所示電路中，當可變電阻R的值增大時，則（）。

A.A、B兩點間的電壓U增大

B.A、B兩點間的電壓U減小

C.通過R的電流I減小

D.通過R的電流I增大

解析 將R的變化范圍認為是自0→∞，當R→0（極限）時，可認為A、B間是一根導線短接，電流只從R通過，此時UAB=0，當R→∞時（極限），A、B間斷開，電流為零，A、B間電阻增大，分壓作用增大，故UAB增大，故應選A、C。

例2 平行玻璃磚的厚度為d，折射率為n，一束光線以入射角α射到玻璃磚上，出射光線相對于入射光線的側移距離為x，如圖2所示，則x決定于下列哪個表達式？（）

解析 α變化范圍0~90°，當α→0（極限）時，x=0；d→0時，x→0；n=1時，x=0，符合要求的只有C，從而避免了繁瑣的運算。

例3 將質量為2M的長木板靜止地放在光滑水平面上，如圖3所示，一質量為m的小鉛塊（可視為質點），以水平速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端與木板相對靜止，鉛塊運動中所受的摩擦力恒定不變。現將木板分成長度、質量均相等的兩塊后緊挨著仍放在此水平面上，讓小鉛塊仍以相同的初速度v0由木板1的左端開始滑動，如圖3（2）所示，下列判斷正確的是（）。

A.小鉛塊仍滑到木板2的右端保持相對靜止

B.小鉛塊滑過木板2的右端飛離木板

C.小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止

D.（2）過程中產生的熱量少于（1）過程中產生的熱量

解析 小鉛塊在木板上滑動時，由于水平面是光滑的，小鉛塊和木板組成的系統在水平方向上動量守恒，木板的質量越大，小鉛塊在木板上滑行的距離越長，若M→無窮大，則v0最終減為零，其動能完全轉化為熱，無機械能轉移到長木板上，說明質量越大，長木板獲得的動能越小，質量越小，獲得的動能越大。在（2）圖中小鉛塊在左側木板運動時的情況與（1）的情況完全相同，滑到右側木板上時木板質量小，動能轉移到木板2上多于（1）中的情況，那么小鉛塊與右側木板相對靜止時的速度比（1）中的大，系統損失的動能小于（1）中損失的動能。這一過程中損失的動能全部轉化為熱，故鉛塊在滑至木板右端前與右側木板保持相對靜止，（2）過程中產生的熱量少于（1）過程中產生的熱量。故選C、D。

例4 兩個光滑的斜面的高度相同，斜面總長也相同，但圖4（2）斜面是由兩部分接成的，如圖4所示，將兩個相同的小球從斜面的頂端同時釋放，不計轉彎處的能量損失，問哪一個先到達底端。

分析 此題運用常規理論，推導很難得出結果，但是可以把（1）斜面看作（2）斜面的特例，也就是將（2）斜面兩部分交界處的夾角β看成在180°與90°之間變化，當β=180°時，就是（1）斜面，當β=90°時，就是圖5所示的情形了，由圖4（1）可知：

比較（a）、（b）兩表達式，由于L＞h，故有t甲＞t，由此可知t甲＞t乙。

本題運用常規的解法很難比較時間長短，但是對于乙斜面中兩部分交界處的夾角β看成在180°與90°之間變化，取其極端情況進行比較，結果就出來了，顯示極限思維在分析問題中的優越性。