解決含參數不等式恒成立問題的基本方法

含參數不等式的恒成立的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函數、數列、三角函數、解析幾何為載體，具有一定的綜合性。解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想。

含參數不等式的恒成立的數學語言敘述特征：常見的有①“……對任意的x∈A都成立”；②“對……對一切的x∈A都成立”；③“……在x∈A上恒成立”等。

解決含參數不等式的恒成立問題的基本數學思想方法：

因而，含參數不等式的恒成立問題常根據不等式的結構特征運用兩種解題方法。方法一：恰當地構造函數（以已知范圍的量為變量，以所求的量為常量），等價轉化為含參數的函數的最值討論；方法二：分離變量法，將含參數的不等式分離出函數f（x）和函數g（m）并將它們移到不等式的兩側運用以上方法解決。

分析 本題是典型的含參數不等式的恒成立問題，試用以上兩種方法解決。

解 解法一（分離變量法）

例3 （2005年湖北卷）已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t）。若函數f（x）=a·b在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

分析 利用導數將“函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數”的問題轉化為“f ′（x）≥0在（-1，1）上恒成立”的問題，即轉化成為“二次函數f ′（x）=-3x2+2x+t≥0在區間（-1，1）上恒成立”，利用分離系數法將t分離出來，通過討論最值來解出t的取值范圍。

解 依定義f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t。

則f ′（x）=-3x2+2x+t，

故要使t≥3x2-2x在（-1，1）上恒成立?圳t≥g（-1），

即t≥5。

而當t≥5時，f ′（x）在（-1，1）上滿足f ′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上是增函數。

故t的取值范圍是t≥5。

數學思想方法是解決數學問題的靈魂，同時在解決含參數不等式的恒成立的數學問題中要進行一系列等價轉化，因此，更要重視轉化的數學思想。