例析雙曲線的定義在解題中的應用

雙曲線有兩種定義：雙曲線的第一定義是指雙曲線上任一點到兩焦點F1，F2的距離之差的絕對值為常數2a（2a<|F1F2|）；雙曲線的第二定義是指雙曲線上任一點到焦點F的距離和到與F相對應的準線的距離之比為常數e（e＞1）。靈活應用雙曲線的兩種定義，對于解決雙曲線上的點與焦點的距離有關的問題，往往會收到事半功倍的效果。現舉例說明，供同學們參考。

一、 求點的坐標

評注 此題利用雙曲線的定義，結合特殊化思想，使問題獲得簡捷的解法。

二、 求點的軌跡

例2 已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三點，若橢圓的一個焦點為C，且過A，B兩點，則此橢圓另一焦點的軌跡為（）。

A.雙曲線 B.橢圓 C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

解 設橢圓另一個焦點為F（x，y）。由于A，B為橢圓上的點，由橢圓定義知

｜AC｜=15，｜AF ｜=｜BC｜+｜BF ｜，則｜BF ｜-｜AF ｜=｜AC｜-｜BC｜。

由｜AC｜=15，｜BC｜=13，得｜AF｜-｜BF｜=2，由雙曲線的定義知點F的軌跡為雙曲線的一分支，選D。

三、 求點到直線的距離

五、 求離心率的取值范圍

綜上所述，Rt△PF1F2的面積為｜n｜。故選A。

評注 此題告訴我們，對橢圓和雙曲線，答案是一樣的。若寫成標準方程的形式，Rt△PF1F2的面積就都是b2。

從上面的分析中我們深深地體會到，雙曲線的定義反映了雙曲線本身的幾何特征，不少涉及到與焦點有關的問題，若能靈活運用雙曲線本身的定義、性質等知識，往往能簡化解題過程，提高解題速度，同學們對此應引起足夠的重視。