用列舉法和描述法表示集合

若集合中的元素是有限的，可用列舉法表示；若集合中元素是無限的，一般用描述法表示。用描述法表示集合的方法是：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征，即{x｜p（x）}，其中p（x）表示元素具有的共同特征。

例1 用適當的方法表示下列集合（可用列舉法、描述法兩種方法的用兩種方法表示）：

（1）方程x2-4x-5=0所有實數解組成的集合。

（2）絕對值小于5的整數組成的集合。

（4）函數y=x2+1的函數值組成的集合。

分析 （1）（2）兩小題是有限集，可以求出集合中各個的元素，因此可用列舉法、描述法表示；（3）（4）兩小題是無限集，不能將集合中元素一一求出，但能求出集合中的元素滿足的條件，一般不能用列舉法表示，用描述法表示。

解答 （1）設方程x2-4x-5=0的實數根為x，并且滿足x2-4x-5=0，因此，用描述法表示為{x∈R｜x2-4x-5=0}；

方程x2-4x-5=0有兩個實數根-1，5，因此，用列舉法表示為{-1，5}。

（2）絕對值小于5的整數組成的集合，用描述法表示為{x∈Z||x|＜5}；

用列舉法表示為{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}。

（4）∵函數y=x2+1的最小值為1，∴y≥1，∴用描述法表示為{y∈R｜y≥1}。

點評 一般地，有限集用列舉法表示，無限集用描述法表示，但用描述法表示集合時，要準確地求出集合中元素滿足的條件，并進行化簡，使條件盡可能簡單明了。

例2 （2007年安徽卷·文）若A={x｜x2=1}，B={x｜x2-2x-3=0}，則A∩B=（）。

A.{3}B.{1}C.?芰D.{-1}

解 A={-1，1}，B={-1，3}， ∴A∩B={-1}，故選D。

例3 （2008年廣東卷）第29屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比搴同男運動員}。集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關系正確的是（）。

A.A?哿B B.B?哿C C.A∩B=C D.B∪C=A

解 因為B∪C=A，故選D。

例5 （2008年天津卷）設集合S={x||x-2|>3}，T={a

（）。

A.-3-1

解 S={x|x>5或x<-1}，由題意得a<-1，a+8>5，∴-3

練習

1.若集合A={x｜kx2+4x+4=0，x∈R}是單元素集，則k=（）。

A.1 B.0C.0或1D.-1或1

A.某校高一（2）班全體學生

B.某校高一（2）班成績好的學生

C.某校高一（2）班高個子的學生

D.某校高一（2）班視力差的學生

5.方程組x+y+1=0x-y+3=0，的解集是______。（用列舉法表示）

6.用列舉法表示下列集合：

（1）集合{x｜x2=9，x∈R}；

（2）集合{x｜8＜x＜12，x∈N}。

7.已知集合A={（x，y）｜y=kx+b}，（0，1）∈A，（1，2）∈A，求k，b的值。

8.已知1∈A={x｜x2+mx-3=0}，求m的值，并用列舉法表示集合A。

9.用適當的方法表示下圖中的陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M。

答案

6.（1）{-3，3} （2）{9，10，11}

7.∵（0，1）∈A，（1，2）∈A，∴1=0×k+b2=1×k+b，解得k=1，b=1

8.∵1∈A={x|x2+mx-3=0}，∴12+m×1-3=0，解得m=2。

當m=2時，A={x|x2+2x-3=0}={-3，1}