一道習題的思維發散

習題是學生學習知識、運用知識、鞏固知識不可缺少的內容，它往往只是提供了一個線索或某一個方面的類型，如果教學中只是就題解題或就題論題，那么培養學生的思維能力，特別是發散思維能力就會顯得蒼白無力．如果能開發性地使用習題，使學生舉一反三、觸類旁通，那么對學生發散思維能力的培養極為有效．下面談談本人在教學實踐中，通過一道習題的開發，培養學生發散思維能力而進行的探索．

原題目：如圖1，已知等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，DE、DF分別垂直AB、AC，垂足分別為點E、F，且AD=10，求DE與DF的長．

一、初探結論，激發發散思維

此習題的解答，大部分學生都能在1分鐘內完成．在全班學生認真思考解法后，我讓學生甲說出了解答思路：由于等邊三角形的每個內角都等于60°，由等腰三角形“三線合一”性質可知∠BAD=30°，再根據“直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”的性質即可得DE=AD=5，同理DF=5，所以DE、DF的長都是5．

在學生甲完成解答過程后，我提出“此題中的DE、DF、AD三條線段在數量上有何關系”的問題讓學生思考，學生很快得出：DE+DF=AD． 此時我再引導學生分析、觀察圖形并思考：此題目中的三條線段DE、DF、AD在位置上有什么特點？學生觀察后說有共點D，且D是BC邊的中點，也就是說“DE+DF=AD”的結論是在這樣特殊條件下得到的. 此時，我提出新的問題：如果沒有這樣的特殊條件，即“D不是BC邊的中點，而是BC邊上任意一點”時，這個結論還能成立嗎？讓學生開展小組討論．一下子，學生們的探究熱情被激發起來了，學生之間急切地討論交流了起來．這樣，通過對問題的結論進行初步探索，成功地激發了學生的發散思維．

二、類推結論，啟動發散思維

學生們經過充分討論和交流后，大部分認為結論“DE+DF=AD”仍然成立．這時，我提出如下問題讓學生思考并回答：1. 原題目應作何變化？寫出變化后的題目，并畫出圖形；2. 嘗試證明結論“DE+DF=AD”． 問題提出后，學生的思維再次被激發，經過熱烈的討論后，學生們爭先恐后地舉手回答．在學生乙說出了題目并畫出變化后的圖形后，我把它板書出來.

變題1：如圖2，已知等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，P是BC邊上一點（不與B、C、D重合），PE、PF分別垂直AB、AC，垂足分別為點E、F，求證：PE+PF=AD．

但這題的證明畢竟有些難度，我適時地提示學生：證PE+PF=AD，可考慮把PE與PF的其中一條線段延長，使延長部分等于另一條線段長，再證與AD相等，所以解決問題的關鍵是如何作出輔助線．受到啟發后，學生繼續積極思考.這時，學生丙舉手說出他的解答思路，我對他正確的解答部分及時肯定，對不完善的部分讓其他學生加以修正，直至得到完整的證明思路，最后讓全體學生寫出變題1的證明過程.

證明：如圖3，延長EP到G，使PG=PF，則GE=PE+PF，作CH⊥AB，垂足為H，由等邊三角形的性質有CH=AD，連接CG． ∵在等邊三角形ABC中，∠B=∠ACB=60°，且PE⊥AB、PF⊥AC，∴∠EPB=∠FPC=30°，∴∠GPC=∠EPB=∠FPC=30°，又∵PG=PF，PC=PC，∴△FPC≌△GPC，∴∠G=∠PFC=90°，又∵CH⊥AB，PE⊥AB，∴四邊形HEGC是矩形，∴GE=CH，∴PE+PF=GE=CH=AD．

完成證明后，我提問學生：你們能否把這個結論用文字敘述出來呢？從而引導學生自主概括歸納，最后得出結論：等邊三角形一邊上的一點到其余兩邊上的距離之和等于這條邊上的高．

整個教學過程，學生們都能在教師的引導下積極主動地探索新知，特別是學生在自己的猜想得到驗證后，品嘗到了成功所帶來的喜悅．這樣，通過對原題結論進行類推，成功地啟動了學生的發散思維之門．

三、再探結論，培養發散思維

就在學生們很有成就感的時候，我趁熱打鐵地提出了新的問題：剛才我們研究點P在等邊三角形的一邊上的情形，那么點P的位置不在三角形的一邊時，情形有幾種，分別是什么？學生思考后回答：點P可以在三角形的內部，還可以在三角形的外部．我接著問學生：當點P在三角形內部時，過點P可作三角形三條邊的垂線段，這時的結論會是怎樣呢？請同學們說說看．在學生疑惑之時，我畫出圖4，引導學生觀察、分析，思維靈活的學生思考后得到一個新的猜想：“此時的結論是PE+PF+PG=AD.”從而把原題變化得到變題2.

變題2：如圖4，已知等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，P是△ABC內任一點，PE、PF、PG分別垂直AB、AC、BC，垂足分別為點E、F、G，求證：PE+PF+PG=AD．

我啟發學生：觀察此圖與變題1之間有怎樣的關系？學生們經過認真觀察、對比后，很快發現：圖4中，若把BC平移到過點P的位置上，可得到變題1的圖形，從而可根據變題1的結論作進一步的推理，順此思路很快便找到了解決問題的方法． 在學生丁回答了證明思路后，我讓他完成了推理證明過程：過點P作MN∥BC，分別交AB、AC、AD于點M、N、H，則四邊形HDGP是矩形，∴ PG=HD．由變題1有“AH=PE+PF”的結論，∴ AD=AH+HD=PE+PF+PG．此時，我再啟發學生用文字敘述出變題2的結論，從而概括得到：等邊三角形內一點到三條邊的距離之和等于這個三角形一邊上的高．

經過變題2的演練，讓學生自主發現變題1與變題2之間的聯系，進一步調動了學生探究數學問題的積極性．這樣，通過對原題結論的再次探索，很好地培養了學生的發散思維．

四、深探結論，升華發散思維

為了讓學生對問題的探究達到高潮，我又不失時機地拋出“當點P在三角形外時，變題2結論還成立嗎”的問題讓學生思考，很多學生依以前的學習經驗慣性判斷結論仍成立．我畫出圖5，并讓學生觀察，有部分學生仔細分析后，說結論好像不成立了，我順勢引導：不成立的理由是什么？有沒有新的結論呢？細細思考之后，一位思維敏捷的學生首先提出了新的結論應是“AD=PE+PF-PG”，并寫出了變化后的題目：

變題3：如圖5，已知等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，P是△ABC外任一點，PE、PF、PG分別垂直AB、AC、BC，垂足分別為點E、F、G，求證：AD=PE+PF-PG．

這位學生依照前面的解答思路，很快地說出他的理由：過點P作MN∥BC，分別交AB、AC、AD的延長線于點M、N、H（如圖6），則四邊形HDGP是矩形，∴ PG=HD． 由變題1有“AH=PE+PF”的結論，∴ AD=AH-HD=PE+PF-PG．

我肯定他的回答后指出，經過論證，此時的結論不同于變題2的結論，這個例子說明我們學習數學不能憑感覺或經驗作判斷的依據，一定要經過嚴密的推理論證，這樣得到的結論才是正確的．

數學的奇妙之處在于它的靈活多變．通過設計這一系列的由易到難、循序漸進的梯度變化練習，讓學生從“激疑”“生疑”到“化疑”的學習過程中，發散思維得到不斷地深化和拓展．這樣，通過對原題結論深入探索，學生的發散思維得到了明顯的升華．

責任編輯羅峰

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