論數(shù)學(xué)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念是反映一類對象以空間形式在數(shù)量關(guān)系方面本質(zhì)屬性的思維形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的地位。正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的必要條件，因而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一個值得研究的重要課題。下面，本人結(jié)合自己的中學(xué)教學(xué)實踐，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)的體會。

一、什么是數(shù)學(xué)概念

概念，思維的基本形式之一，反映客觀事物的一般的、本質(zhì)的特征。人類在認識過程中，把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，就成為概念。因此，概念從邏輯結(jié)構(gòu)上看，就是反映某種事物及其特有的本質(zhì)特性的思維形式。具體到數(shù)學(xué)教科書來說，數(shù)學(xué)概念指的就是書本中那些名詞術(shù)語的釋義。它們中，一類是占量較多而給一定義的，如有理數(shù)、無理數(shù)、方程、平行、垂直、相似形、軸對稱圖形、函數(shù)、數(shù)列、數(shù)列的極限等等，另一類是占量較少而不給定義的，如點、直線、平面、集合、對應(yīng)、同側(cè)、異側(cè)等等，對它們只做些簡單描述性的說明。

每一個概念都有它自身的內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵是指這一概念所包括的對象的一切基本屬性的總和，外延是指適合于每一概念的一切對象。概念的內(nèi)涵和外延之間，還存在著反比例的關(guān)系，即概念內(nèi)涵擴大，外延就縮小；內(nèi)涵縮小，外延就擴大。概念有種（概念）、類（概念）之分，平行四邊形和菱形的關(guān)系正好說明這一點。

二、數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)規(guī)律的前提。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的一般知識，它包括定義、定理、公式、性質(zhì)、法則。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中進行邏輯推理的基礎(chǔ)。如果概念不清或錯誤，那么由概念構(gòu)成的判斷、推理就會產(chǎn)生錯誤的論證和運算，更談不上得出正確的結(jié)果。例如初中數(shù)學(xué)中算術(shù)根的教學(xué)，近幾年使用的教材是這樣描述的：正數(shù)正的方根叫算術(shù)根。顯然這是定義，而下定義的概念（正數(shù)正的方根）的外延（所有正數(shù)的方根）容易被下定義概念的外延（所有正數(shù)正方根，所有零的方根）。這違反了下定義的外延相等的規(guī)定，于是就成了一個過窄的定義，在這種過窄的定義的指導(dǎo)下，學(xué)生在理解時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。例如:

1.當x為何值時 =- 。

解：當X＜-1時等式成立。

2.求函數(shù)Y= 的定義域。

解：X＞-3的一切允許值是該函數(shù)的定義域。

上述二例忽略了X=-1和X=-3時的可能性，使題解失去了完整性。因此，正確的算術(shù)根的定義應(yīng)該是：非負數(shù)的非負平方根的叫算術(shù)根。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用數(shù)學(xué)概念

1.尋求形成根源，理解概念。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一步是引入概念，它是理解和應(yīng)用概念的前提，如何引入呢？我覺得應(yīng)從尋求其形成的根源入手。

幾乎每一個數(shù)學(xué)概念的引入都伴隨著一個動人的故事，如引入無理數(shù)時，可向?qū)W生介紹無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的背景；又如講解析幾何時可向?qū)W生介紹笛卡爾，講二項式定理時可向?qū)W生介紹楊輝三角。了解一個概念的發(fā)生、發(fā)展過程，有利于學(xué)生對某一概念的形成，同時，數(shù)學(xué)史也是對學(xué)生進行思想教育的極好教材。

2.用直觀的對比方法引入概念。

新數(shù)學(xué)課程標準中特別指出：抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實際背景和形成過程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。一個概念在學(xué)生思想上的形成是有一定過程的，教師在教學(xué)中應(yīng)從具體到抽象、從現(xiàn)象到本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步形成概念，運用直觀對比的方法引入概念，就可以達到新課標提出的要求。它往往比單純孤立地講授概念效果要好。它可以將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，這樣既可避免學(xué)生聽起來感到枯燥無味，又可減輕他們記憶的負擔(dān)。在中學(xué)數(shù)學(xué)里，不少內(nèi)容是可以通過直觀對比方法來引入的，如：立體幾何里講異面直線概念時，可以先讓學(xué)生觀察教室里或生活中的各種實例，再看異面直線的模型，抽出本質(zhì)特征，概括出異面直線的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例——模型——圖形——想象的順序逐步抽象形成正確的概念。現(xiàn)行的各種版本的新教材中，在每章的前面，都設(shè)計了“章頭圖”，這些圖形都是學(xué)生們非常熟悉的事物，以此加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認識。有些內(nèi)容，若“數(shù)”、“形”能夠結(jié)合的一定要盡量結(jié)合起來講，不能怕麻煩，如在實數(shù)集合、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)中，都可以用數(shù)形結(jié)合的方法來組織教學(xué)。

3.利用聯(lián)系對比，鞏固概念。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多概念既有本質(zhì)不同的面，又有內(nèi)在聯(lián)系的一面，教學(xué)中，如果只注意某一概念的本身，忽視不同概念之間的聯(lián)系，那么就會使學(xué)生對概念的掌握停留在膚淺的表面上。因此，我們應(yīng)采用聯(lián)系對比的教學(xué)方法使學(xué)生區(qū)別異同，防止概念的混淆，起到深化鞏固概念的作用。

如：函數(shù)，結(jié)合中學(xué)階段所講的函數(shù)概念，指出函數(shù)就是從定義域到值域的一類特殊映射，所以映射中的集合A、B必須是非空的數(shù)的集合；其次，作為函數(shù)其對應(yīng)關(guān)系與映射也不盡相同，請看下列從集合A、到集合B的映射（AB中元素為實數(shù)）。

（１）在圖（a）中，Ｂ中每一個元素在Ａ中都有唯一的原象；

（２）在圖（b）中，Ｂ中每一個元素在Ａ中都有原象（但不唯一）；

（３）在圖（c）中，Ｂ中部分元素Ａ中無原象（b3）。

那么圖(a)(b)相應(yīng)的映射無謂函數(shù)，而圖(c)則不是函數(shù)。映射作為函數(shù)，必須滿足以下兩條：集體Ａ，Ｂ是非空的數(shù)的集合；集合Ｂ中每一個元素在Ａ中都有原象。

4.用發(fā)展、變化的觀點，深化概念。

每個概念都有它的確定意義，但隨著事物的發(fā)展和知識的不斷豐富，有些概念也在不斷地發(fā)生變化。因此，在教學(xué)中就要求我們通過對概念的限制和概括去揭示概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生認識到概念的確切定義往往是相對的，在一定條件下的定義并非永遠不變。例如：函數(shù)定義中，自變量和因變量這兩個概念，是在某事物的特定條件下，形成一定的函數(shù)關(guān)系后，才確定的。比方說：每冊書定價A元，（1）買X冊這樣的書要付書費多少元（Y元）；（2）現(xiàn)有Y元錢能買多少冊書（X冊）。這里（1）中從函數(shù)關(guān)系Y=ax可以見到應(yīng)付書費Y是函數(shù)，買書冊數(shù)是變數(shù)。而（2）中從函數(shù)關(guān)系可以見到X又是Y的函數(shù)了。至于這里每冊書的定價a這個常量也是在特定的空間、時間等條件下才保持不變的。其次，隨著教學(xué)的不斷深入，學(xué)生年級的升高，某些數(shù)學(xué)概念的本來含義也在發(fā)生著變化。如：角的概念從平面180度以內(nèi)的銳角、直角、鈍角，開始認識到平角、周角、任意角，直到規(guī)定了方向后的正角、負角，以及空間生成的二直線的夾角，直線和平面、平面和平面的夾角等，這說明角的概念發(fā)展以后，更加抽象和一般化了。像這樣，發(fā)展了的概念包括了原始概念，原始概念成為發(fā)展后概念的特殊情況，原始概念可以統(tǒng)一在發(fā)展以后的概念里。但也有的概念得到發(fā)展后，與原始概念有著完全不同的含義。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”