思維品質在函數問題中的體現

摘 要：函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

關鍵詞：數學思維 函數 定義域

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中若不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式。

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：

故函數關系式為：S=x(50-x)。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0＜x＜50。

即：函數關系式為：S=x(50-x)（0＜x＜50）。

二、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

其實以上結論只是對二次函數y=ax +bx+c(a＞0)在R上適用，而在指定的定義域區間［p，q］上，它的最值應分如下情況：

故本題還要繼續做下去：

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

三、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

故所求的函數值域是［1，+∞）。

以上例子說明，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

如果在做題時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

五、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性與定義域也有密切關系。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。

參考文獻：

［１］王岳庭.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京：海洋出版社，1998.

［２］田萬海.數學教育學.浙江：浙江教育出版社，1993.

［３］莊亞棟.高中數學教與學（99.2、99.6).揚州：中學數學教與學編輯部出版，1999.

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