構造法在證明不等式中的應用

摘 要：“構造法”作為一種重要的化歸手段，是數學中一種富有創造性的思維方法。在數學解題中尤其在證明不等式中有著重要的作用。文章采取了歸納總結的方法，通過構造幾種數學模型，即：函數模型、幾何圖形模型、數列模型、方程模型、向量模型、代數式模型，以中學數學中某些典型為例，探討了構造法在證明不等式中的應用。最后在總結中提及了構造法在中學數學中的教學價值和以后的努力方向。

關鍵詞：構造 構造法 模型 不等式

1. 引言

近年來，有關不等式證明的題目愈來愈多地出現在各級數學競賽、高考中，是競賽、高考中熱門話題之一。不等式證明的方法很多，從化簡特征上看可分為兩大類：一是利用不等式的性質及重要不等式；二是輔助方法，通過變量代換，構造輔助元素（如圖形、函數、方程、代數式、反例等）來達到證明的目的。

構造性解題方法（簡稱構造法）是一個古老而又嶄新的科學方法，歷史上許多著名的數學家，如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等，都曾運用這一方法解決過數學難題。構造法是數學中一種極富技巧性和創造性的解題方法，當一個數學問題需要解決時，常常通過深入分析問題的結構特征和內在規律，要么把題設條件中的關系構造出來，要么將關系設想在某個模型上得到實現，要么將已知條件經過適當的邏輯組合而構造出一種新的形式，從而使問題等價轉化為與之相關的函數、方程和圖形等，再進行求解。構造法本質上屬于轉化思想的范疇，但它常常表現出簡捷、明快、精巧、新穎等特點，使數學解題突破常規，具有很強的創造性。運用構造法證明不等式，重在“構造”根據由已知條件與要證的結論所提供的信息進行聯想、類比，構造數學模型，通過對這個數學模型的研究去實現原問題的解決。本文歸納總結了構造法在證明不等式中的應用，并就構造函數模型、幾何圖形模型、數列模型、方程模型、代數式模型和向量模型五個方面進行了初步的探討。

2. 主要內容

2.1構造函數模型

我們常常利用一次函數的線性性質、二次函數的最值以及函數的單調性等性質證明某些不等式問題。在證明不等式時，抓住不等式與函數的密切關系，以問題的結構特征為起點，構造相應函數，從函數的思想和方法來解決問題。

2.2 構造方程模型

解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區間的端點就是它相應方程的解，正是利用它們之間的這種內在聯系，可設法構造方程來證明不等式。

例2若{a }是由正數組成的等比數列，S 是它的前n項的和，證明：S ·S ＜S。

分析：聯想到二次方程的△=6 -4ac，因此可以試用構造二次方程的辦法解決問題。

解：構造一元二次方程S x +2S x+S =0?搖?搖?搖 ①

∵S 是正項數列前n項的和

說明：這里為解決有關數列差的問題，由聯想構造出了一個一元二次方程，由于易于判斷它的根的性質，從而達到了證明Δ＞0的目的，轉而證明了數列問題，這里就是典型的構造法。

2.3 構造幾何模型

把已知條件或要證不等式中的代數量直觀化為某個圖形中的幾何量，即構造出一個符合條件的幾何圖形，便可應用該圖形的性質及相應的幾何知識證明不等式。

例3正數a、b、c、A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA＜k 。

用構造法，數形結合，得出此不等式的巧妙證法。

證明一：由求證的不等式聯想到面積關系，有所設條件聯想到構造以邊長為k的三角形，如下圖所示：

證明二：由求證的不等式聯想到面積關系，由題設條件式聯想到以邊長為k的正方形。如下圖所示：

上面從代數和三角各舉了一例。從上面兩道例題足以說明：利用幾何圖形來證明不等式，不僅能使有關問題簡捷獲解，更重要的是能提供有效的幾何直觀，以加深對不等式實質的理解。但在用這種方法時應注意：

（1） 構造幾何圖形不能盲目亂湊，要有正確的思考方法。從上面例子可得出總的思考原則：先尋找題目條件與所求問題中給出的各種式子的幾何含義，然后考慮可借用哪些有關的幾何概念和性質，在這些基礎上進行設計，構造出合適的幾何圖形。

（2） 此法不是對所有的代數或三角題都適用。因此，這種方法既要用得當，又要解法比較簡便。這就要求我們所構造出的幾何圖形比較簡單，切不要故弄玄虛，生硬拼湊出復雜的幾何圖形來解題。

2.4 構造向量模型

例4設a、b為不相等的正數，求證：（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 。

分析：利用向量的數量積不等式

|m|·|n|≥|m·n|。

證明：設m=(a，b)，n=(a ，b )，利用向量的數量積不等式有|m|·|n|≥|m·n|。由于a≠b，故ab -a b≠0，也即向量m與n不是平行向量，故|m|·|n|＞|m·n|，|m| ·|n| ＞|m·n| ，即（a +b ）(a +b )＞(a +b ) 成立。

2.5 構造數列模型

例5求證：C+C+…+C＞n·2 。

分析：不等式左邊即為2 -1= ，從而聯想到等比數列的求和公式，于是

將上述三式相加并整理，即得x +y +z ≥ 。

3. 總結

構造法證明不等式涉及的內容很廣，綜合應用了轉化函數、方程、數形結合等多種思想方法。其構造的形式也很多樣，例如構造復數、構造向量、構造數列、構造反例等也是常遇到的。這也充分體現了構造法在中學數學教學中的教學價值：提高學生對數學模型的敏感性和數學解題能力，培養學生的創造性思維能力和審美能力。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”