Ｂａｙｅｓ公式在一般風險型決策中的應用

設某種狀態的先驗概率(事先給出的各種狀態的概率)為，通過調查獲得的補充信息為，給定時，的條件概率為。則在給定信息的條件下，的條件概率，即后驗概率（利用補充信息修正的概率），可用Bayes公式計算：

一般風險型決策中決策分析分為先驗分析和后驗分析。一般來說，只要補充信息是準確的，則后驗分析的結論更為可靠。

案例分析：某水利工程公司擬對大江截流的施工工期作出決策。可供選擇的方案有三種：一是在8月份施工；二是在9月份施工；三是在10月份施工。假定其他條件都具備，影響截流的主要因素是天氣與水文狀況。10月份的天氣與水文狀況可以保證截流成功。而8、9月份的天氣與水文狀況有兩種可能。如果天氣好，上游沒有洪水，8月、9月底前截流成功，可使得整個工程的工期提前，從而能比10月施工分別增加利潤1000萬元、800萬元；如果天氣壞，上游出現洪水，截流失敗，則比10月施工分別增加500萬元、300萬元的損失。根據以往經驗，8、9月份好天氣的可能性是0.7，天氣壞的可能性是0.3。為了幫助決策，公司擬向氣象站購買氣象預報的資料。過去的資料表明，該氣象站預報好天氣的準確率是0.9，預報壞天氣的準確率是0.7。請為該水利工程公司選擇科學合適的決策方案。首先進行先驗分析：兩種方案在不同狀態下的收益矩陣表為：（單位：萬元）

三種方案的期望值分別為：

=0.7×1000+0.3(-500)=550(萬元），

=0.7×800+0.3(-300)=470(萬元），=0（萬元），

則，按照期望值準則，方案最優。

單純以期望值作為判斷標準往往是不充分的，收益期望值所反映的只是一種平均趨勢，在進行決策時還應考慮其離散程度。=0，可以從備選方案中排除。方案一和方案二的期望值雖有差別，但差別不是很大，所以再計算變異系數，幫助判斷。

則，按照變異系數準則，方案最優。

完全信息價值與補充信息價值是利用Bayes公式進行決策分析的兩個常用指標。其計算公式為：

是完全信息價值的期望值，表示各方案狀態下的最大收益值，表示先驗分析中的最佳方案在狀態下的收益值。

=0.7×(1000-800)+0.3×(0+300)=230（萬元）

此時完全信息價值的期望值比較高，這表明通過追加補充信息，有可能進一步提高決策的效益。

下面再進行后驗分析：在現實經濟生活中，一般很難獲得完全信息。它們的價值通常低于完全信息價值。補充信息的價值VAI的計算公式為:

的取值與有密切聯系，為了綜合反映補充信息的價值，還需要計算補充信息價值的期望值:是出現的概率：。

是判斷收集補充信息是否有利的基本標準。一般在收集補充信息之前，應將與收集補充信息的費用加以比較，只有當收集補充信息的費用小于時，平均來看，收集補充信息才有價值。

設發出天氣好預報的補充信息為，發出天氣壞預報的補充信息為，。下面利用Bayes公式對各種狀態的概率進行修正，以得出更為可靠的決策方案：

利用后驗概率計算進行后驗分析可得：

=1000×0.875+(-500)×0.125=812.5(萬元)，

800×0.875+(-300)×0.125=662.5(萬元)，=0(萬元)，

則，按照期望值準則，方案1最優。

利用后驗概率，計算進行后驗分析可得：

1000×0.25+(-500)×0.75=125(萬元)，

800×0.25+(-300)×0.75=-25 (萬元)，=0(萬元)

則，按照期望值準則，方案最優。

發出天氣好預報的后驗完全信息價值：

后驗

=0.875×(1000-1000)+0.125×[0-(-500)]=62.5(萬元)

發出天氣壞預報的后驗完全信息價值：

后驗

=0.25×(1000-0)+0.75×(0-0)=250(萬元)

補充信息價值的期望值EVAI:

=230-62.5=167.5(萬元)，=230 250=-20(萬元)

=167.5×0.72+(-20)×0.28=115(萬元)

從上面的分析可以得出合適的結論：為提高決策的效益，該水利工程公司應購買氣象預報，以便更準確地把握氣象水文狀況。因EVAI=115(萬元)，所以只要該項情報要價低于115(萬元)，平均來看購買情報是有利的。如果氣象預報天氣好，則應在8月份施工，如果氣象預報天氣壞，則應在10月份施工。