基于集合劃分的模糊積分及其比較研究

[摘要] 積分作為信息融合的工具在許多領(lǐng)域起著重要作用。目前，已有許多種模糊積分，但這些積分都是定義在集合（或其子集上）上的，還沒有定義在集合劃分上的積分。本文提出了一種基于集合劃分的模糊積分，研究了其基本性質(zhì)，并與其它模糊積分進(jìn)行了比較。

[關(guān)鍵詞] 劃分信息融合模糊測度模糊積分

一、引言

積分作為信息融合的工具，在機器學(xué)、。數(shù)據(jù)挖掘、模式識別等許多研究領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。現(xiàn)存的各種積分都是定義在集合的一個子集上的，還沒有定義在集合劃分上的積分。然而在許多實際問題中，為了有效的處理數(shù)據(jù)，做出更加準(zhǔn)確的預(yù)測，需要考慮集合的劃分，即按照某一標(biāo)準(zhǔn)把一個集合劃分成幾個兩兩不相交的子集，且標(biāo)準(zhǔn)不同對集合構(gòu)成的劃分不同，不同的劃分產(chǎn)生的效果也不相同。為了描述集合的不同劃分的不同效果，本文提出了一種基于集合劃分的模糊積分，研究了其基本性質(zhì)，并與其它模糊積分做了比較。

二、基于集合劃分的模糊積分的定義及性質(zhì)

1.基于集合劃分的模糊積分的定義

這一部分首先給出基于集合劃分的非線性積分的定義，然后研究其主要性質(zhì)，再給出其計算。給出這種新型積分的定義之前，先引入一個相關(guān)定義。

定義1:假設(shè)和是集合X的兩個劃分且，若，其中，即等于幾個的并集，則劃分是劃分的一個細(xì)化或劃分是劃分的一個粗化，用符號或表示。我們用表示或。

例如，給定一個集合，令，

，則，即劃分是劃分的一個細(xì)化。

下面，我們給出定義在集合劃分上的一種新型積分的定義，然后研究其基本性質(zhì)。

定義2: 令是Lebesgue測度，是非負(fù)集函數(shù)，是一非負(fù)函數(shù)，給定X的劃分，則函數(shù)f關(guān)于在劃分 上的積分，用符號表示，定義為

（3.1）

其中是比粗化的X的任一劃分。

例1 假定

令

，其中|A|是集合A中元素的個數(shù)。由定義2.3得

2.新型模糊積分的性質(zhì)

不失一般性，令是單調(diào)的且滿足，f是定義X上的非負(fù)函數(shù)新型積分具有下列性質(zhì)：

定理3:令且

(1)若，，則；

(2)若，則；

(3)若是超可加的，則；

(4)對任意常數(shù)及任意的，;

(5)

(6)若在X上關(guān)于幾乎處處成立，則

(7)若在X上關(guān)于幾乎處處成立，且，則

證明：我們只需證明(3)和(4)，其他可直接由定義得出。假定是X的一個給定劃分。

對(3)

其中是比粗的X的任一劃分。

對于(4)，假定是X的一個給定的劃分，則

其中是比粗的X的任一劃分

三、和其他積分的比較

這一部分我們給出三種模糊積分間的關(guān)系定理，然后給出新型積分和其他積分的比較，不妨假定。定理4.1、定理4.2、定理4.3是三種模糊積分間的關(guān)系定理，基于這三個定理，我們給出新型積分和其他積分間的關(guān)系。

定理4.1若是超可加的，則;若是次可加的，則;若 是可加的，則

定理4.2 .

定理4.3 .

定理4.1、定理4.2、定理4.3的證明見文獻(xiàn)

下面我們給出新型模糊積分和其他積分的比較，不妨假定。我們得到如下幾個定理。

定理4.4若.則 (3.2)

證明：對給定的X的劃分，由的定義及新型積分的定義可得

定理4.5若，則 （3.3）

證明：由定理4.3和定理4.4可得。

定理4.6若是超可加的且則(3.4)

證明:由定理4.3和定理4.4可得。

四、結(jié)論

本文從信息融合的角度出發(fā)提出了一種基于集合劃分的非線性積分，從幾個方面研究了其主要性質(zhì)，并和其他非線性積分做了比較。進(jìn)一步要做的工作：一方面，繼續(xù)研究這一積分計算；另一方面探討其應(yīng)用領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn):

[1]Z. Wang， G.J. Klir， Fuzzy Measure Theory， Plenum， New York， 1992

[2]Z. Wang， K.S. Leung， J. Wang， A genetic algorithm for determining non-additive set function in information fusion， Fuzzy Sets and Systems， 1999，1(102): 463–469