試談類比法在高中數(shù)學教學中的應用

類比法是從特殊到特殊的推理，在歸納、演繹、類比這三種邏輯推理中，類比是富有創(chuàng)造性的一種方法。運用類比法的時候，研究對象范圍內沒有相應的一般原理，因而不受現(xiàn)成原理的約束，相反，它可以在更廣泛的范圍中提供種種可能的新原理，供人們去探索和驗證，因此從本質上講，類比法是一種發(fā)現(xiàn)探究的方法而不是驗證的方法。數(shù)學家G#8226;波利亞說：“類比是一個偉大的引路人。”在數(shù)學的教學與研究中，類比是進行合情推理的一種非常重要的思維方法。在我們平時的學習與生活中處處充滿著類比，可以說，類比是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結果的一種卓有成效的思維方法。在數(shù)學研究中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創(chuàng)造數(shù)學新分支的重要途徑。學生在數(shù)學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養(yǎng)學生運用類比方法進行合情推理的能力。

一、在新授課教學中運用類比方法，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性

在數(shù)學教材中，很多新知識都是在原有知識的基礎上發(fā)展而來的，因而在這些新知識中多少都會帶有舊知識的痕跡。在新授課時，通過對舊知識的回憶類比給學生創(chuàng)造“最佳思維環(huán)境”可以使學生猜想出新授知識的內容、結構、研究思想與方法，激發(fā)學習的積極性，變被動聽課為主動探究。

在數(shù)學的立體幾何部分教學中，許多概念、公理、定理都可以與平面幾何中的相近內容進行類比。如講授空間的兩直線的位置關系時，首先啟發(fā)學生回顧平面內兩條直線的位置關系進行類比聯(lián)想：先由平面中兩條直線的位置關系：平行或相交。設問：空間中兩條直線的位置關系是否也是只有平行與相交兩種呢？然后出示教具讓學生通過觀察進行聯(lián)想、類比，引出異面直線的定義，歸納出空間直線的位置關系：相交、平行、異面。講授二面角時，先回顧初中平面幾何中角的概念、表示方法，進行類比聯(lián)想：平面內從一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角。在空間如何定義兩個平面相交形成的“角”呢？然后利用圖形進行觀察、類比，引出二面角的定義、表示方法。雖然這樣類比的結論不完全正確，但它卻教會了學生一種探索問題的方法，這也正是目前我們要把學生從“學會”轉化為“會學”的一種有益的嘗試和手段。

二、運用類比方法溫故知新

類比是從舊知識推出新知識的一種思考方法，也是人們聯(lián)想的思維工具。在學習數(shù)學的立體幾何部分時，對出現(xiàn)的新問題與平面幾何的有關知識進行類比，大膽猜想，可以發(fā)現(xiàn)新知識，從而溫故知新。如在學習三棱錐的體積時，教師應引導學生與三角形的面積進行類比：因為三角形的底邊長a對應三棱錐的底面積S，三角形底邊上的高h對應三棱錐的底面S上的高H，而二維空間里的三角形的面積公式A= ah，所以由類比方法推測，三維空間里的三棱錐的體積應為v= SH；正三角形的內心把高分成2∶1，可以與正四面體內切球的球心把高分成3∶1進行類比；證明三角形面積公式可以把三角形補成一個平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半；類似的，要求三棱錐的體積，應把它補全成一個三棱柱，然后分割成三個等體積的三棱錐，這就是課本上的方法。如果我們教師運用類比的方法引導學生進行思考，那么他們對這種方法的理解就會毫無困難。另外，梯形的中位線公式L= （a+b）可以與臺體的中截面面積公式S = （S +S ）進行類比，這樣可以加深學生的記憶。

三、通過類比發(fā)現(xiàn)解題的思維方法

類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，還是一種探索解題思路、猜測問題答案或結論的一種有效的方法。這對數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的作用，教學中應引起足夠的重視。如下兩例就是通過類比發(fā)現(xiàn)解題思路的思維方法。

1.在數(shù)學的立體幾何部分教學中，有這樣的一個問題曾難倒了許多學生：“求證正四面體A—BCD內的任意一點P到各個面的距離之和等于常數(shù)。”其實，只要與平面幾何的問題類比：“求證等邊三角形內的任意一點P到三角形的三邊的距離之和等于常數(shù)。”由于平面幾何中該命題的證明可采用“面積法”，類似的，這個立體幾何問題應采用“體積法”，于是問題迎刃而解。

2.當我們遇到一個較為生疏的難題而又無從下手的時候，如果能從構造一個類似的熟悉問題的解答過程中得到啟發(fā)，那么就很有可能悟出原問題的解法。下面的這個問題是非常典型的：“設A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}從A到B的映射中，滿足：f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射一共有多少個？”乍看起來，有些學生感到這個問題好像無從下手。你見過一個類似的問題嗎？啟發(fā)學生進行對比聯(lián)想：“方程x+y+z+u=100總共有多少組正整數(shù)解？”這個問題你是怎么解決的？立即有學生想到：相當于用三塊隔板將100個排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一個球，有多少種方法？顯然是有C種方法。由此，從A到B的映射，共分為三類：①五對一的映射有C個。②五對二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成兩部分，這兩部分而分別與6、7、8中選出兩個元素對應，共有CC個。③五對三的映射，先1、2、3、4、5用兩塊板分成三部分，分別對應6、7、8三個元素，共有CC個。因此這樣的映射總共有21個，問題獲解。

數(shù)學發(fā)展史上大膽的、令人驚奇的類比，天天在進行著：曲與直的類比，有限與無限的類比，數(shù)與式的類比，數(shù)與形的類比，平面與空間的類比……一般來說，差別愈大的對象間的類比，風險也愈大，那么，自然地導致重大發(fā)現(xiàn)的可能性也愈大。在數(shù)學教學中，如果能夠靈活地運用類比，從而使學生也會運用類比，將會對學生學習數(shù)學、運用數(shù)學解決實際問題乃至學生的思維方式產生深遠的影響。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”