“影子問題”三步曲

在新的浙教版教材中增加了“投影和視圖”這章內容后，有關的“影子問題”就經常在測量物體（垂直地面）高度的題目中出現。由于物體在太陽光線下所產生的影子的位置不同，就有了三類不同的“影子問題”有待我們去解決。

一、影子在水平地面上

例1.（教材）數學興趣小組要測量校園內的一棵樹高AB。如圖1，把長2.40m的標桿CD直立在地面上，量出樹的影長BE為2.80m，標桿的影長DF為1.47m，求樹AB的高度（精確到0.1m）。

圖1

分析：本題由于影子都在水平地面上，因此物體（樹、標桿）、太陽光線和各自的影子構成的2個三角形相似，利用相似三角形的性質及已知數據直接可求得樹AB的高度。

解：由題意得：∠CDF=∠ABE=90°，∠CFD=∠AEB

∴△CFD∽△AEB

∴ =

即 =

∴AB= ≈4.6m

答：樹AB高約4.6米。

總結：在太陽光線下，同一時刻，兩個物體的高度和影長（水平地面上）的比例是相等的，即 = 。解題時要注意物體和各自影子的對應關系不要弄錯。

二、影子一部分在水平地面上，一部分在垂直墻面上

例2.某數學課外實驗小組想利用樹影來測量樹高AB。如圖2，他們在同一時刻測得一身高為1.5m的同學影長為1.35m，因為大樹靠近一幢建筑物，影子不會全在地面上，他們測得地面部分的影長BC=3.6m，墻面部分的影長CD=1.8m，求大樹AB的高度。

分析：此題有兩種不同的思路：（1）把垂直墻面上的影子CD轉化為水平地面上的影子；（2）把垂直墻面上的影子CD轉化為物體AB的部分高度。無論哪種思路都可以把問題轉化為第一步的求法。

（1）解：延長AD交BC的延長線于點E，

∵ = =

即 = =

∴CE= =1.62m，

∴BE=3.6+1.62=5.22m

∴AB= =5.8m

答：大樹AB高5.8米。

（2）解：過點D作DE⊥AB于點E。

由題意可得：四邊形CDEB為矩形。

∴BE=CD=1.8m，DE=BC=3.6m。

∵ =

∴AE= ×3.6=4m

∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8m

答：大樹AB高5.8米。

總結：當影子有兩部分時，有兩種方法可以來求物體高度。（1）把照在垂直墻面上的影子看成是影子物體，用第一步的方法求出這個影子物體在水平地面上的影子長度。（2）把照在垂直墻面上的影子轉化為原物體高度的一部分，而原物體高度的另一部分利用第一步的方法來求。

三、影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上

例3.如圖3，小明想測量電線桿AB的高度，他發現電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上。已知CD=4m，BC=10m，CD與地面成30°角，且此時1m長的竹竿影長為2m，求電線桿AB的高度。

分析：本題利用斜坡上的影子直接求物體高度有難度，但是如果把斜坡上的影子轉化為垂直墻面的影子和水平地面的影子，那么問題就可以轉化為第一步和第二步的情形了。

解：延長AD、BC交于點F，過點D作DE⊥BF于點E，

由題意得：DE=CD#8226;Sin30°=2m，

CE=CD#8226;Cos30°=2 m，

∵ = = ，

∴EF=2DE=4m，

BF=BC+CE+EF=14+2 m，

∴AB= BF=7+ m

答：電線桿AB高7+ 米。

總結：當影子落在斜坡上時，關鍵是把影子分解為垂直墻面上的影子物體和水平地面的影子，把問題轉化為第一步和第二步的情形來求。本題在轉化影子位置的時候，學生容易把△CDF當做等腰三角形來解，講解時須歸納“影子問題”的根本就是把影子按不同的位置分成不同的三類，然后進行三步曲之間的轉化。

參考文獻：

［1］義務教育課程標準實驗教科書［M］.浙江：浙江教育出版社，2004年.

［2］苗學軍.中考中的“影子問題”.初中數學教與學［J］.2005年第10期第30-32頁.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”