蝴蝶定理及其教育價值

摘 要：本文以蝴蝶定理為載體，以蝴蝶定理的教育價值為切入點，從體現數學之美，激發學生學習的興趣；形式多樣的解題策略，提供給學生研究性學習的可能性；尋找方便之解，誘發學生后續學習的興趣；形式簡單的推廣，為學生提供數學研究的范例等四個方面談普通高中數學課程標準理念的實現。

關鍵詞： 蝴蝶定理 數學美 研究性學習 教育價值

一、問題的提出

眾所周知，“數學使人理性”，數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的，不可替代的作用。數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是公民所必須具備的一種基本素質，而公民的數學素養，主要是靠學校教育來形成的。

20世紀以來，世界數學課程改革蓬勃興起，并逐步深入。2003年，我國正式頒布了《普通高中數學課程標準（試驗）》，課程標準對數學課程的性質、理念，對課程的內容、目標，對課程內容的教學、評價有了新的認識。在課程理念中指出：數學課程要體現數學的美學價值，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，并創造各種有利的條件，激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生養成獨立思考、積極探索的習慣，并在其中體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。［１］

那么，在具體的課堂教學實踐中，如何使課程理念真正落實，以提高學生的數學素養？本文試圖以蝴蝶定理為載體，以蝴蝶定理的教育價值為切入點闡述以上課程理念的實現。

二、蝴蝶定理簡介

圖1是一只漂亮的蝴蝶，幾何圖形化、數學文字化后得一個漂亮的命題：過一圓的AB弦中點M引任意兩弦CD和EF，連結CF、ED，交AB弦于P、Q兩點，則有PM=MQ。命題的圖形貌似一只翩翩起舞的蝴蝶，對稱、和諧，且在對稱、和諧中動靜結合，富有詩情畫意之美，故命名為蝴蝶定理。蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何題，有人稱譽它為歐氏幾何園地里的“一棵生機勃勃的常青樹”。

蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于英國倫敦1815年出版的一份數學科普刊物《先生日記（Gentleman’s Diary）》上，登出的當年，英國一個自學成才的中學教師霍納(W．G．Horner 1786-1837)就給出第一個證明，證明過程比較繁，使用的知識也比較深；1973年，又一位中學教師斯特溫用三角形面積關系給出了一個漂亮而簡捷的證明；1985年，在河南省《數學教師》創刊號上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》為題，載文向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理的證明像雨后春筍般脫穎而出，證法不枚勝舉，蝴蝶定理也便在神州大地到處傳開。到目前為止，蝴蝶定理的證明已有60多種不同的方法。

三、蝴蝶定理的教育價值

1.體現數學之美，激發學生學習的興趣。

人的心靈是知、情、意的統一，有了興趣，才會有學習的主動性和積極性。但談起幾何的學習時總會說：幾何幾何，三尖八角，老師好教，學生難學。使我們所看到的只是幾何圖形的紛繁復雜，幾何證明的抽象多變。幾何就像一把雙刃劍，一方面幫助一部分學生在數學學習的道路上披荊斬棘，使他們越行越遠，另一方面卻把一部分學生從數學學習的道路上揮劍斬下，從此厭惡幾何、遠離幾何，并喪失學習的興趣和信心。

對美的向往，是人類的共同追求；對美的熱愛，總能夠激起人類的內心需求。數學是人類文化的重要組成部分，數學課程要反映數學的美學價值。數學美包括簡潔美、對稱美、和諧美和奇異美等，蝴蝶定理，把平面圖形中最完美的圖形——圓和大自然生命中的精靈——蝴蝶和諧地統一在一起，再加上教師的語言誘導，使學生恍惚置身于美麗的田園、清澈的山水之間，身心得到愉悅的享受。在學生良好的情感體驗之下，“角”不再堅硬，“證明”不再抽象，而是自己的一種內心需求，從而激發起學生學習的興趣，在興趣的指引下，經歷一次次的成功，最終建立起對幾何的熱愛。

2.形式多樣的解題策略，提供給學生研究性學習的可能性。

現代學習理論研究表明：學習是學生的一個積極主動的建構過程。積極主動的建構過程指學生“整個人”（包括情感和認知兩方面）都負責地投入學習活動中，開展交流、磋商，并進行自我調整和修正等。

研究性學習是指在教學過程中以問題為載體，創設一種類似科學研究的情境和途徑，讓學生通過自己收集、分析和處理信息來實際感受和體驗知識的生產過程，進而了解社會，學會學習，培養分析問題、解決問題的能力和創造能力。研究性學習的核心是要改變學生的學習方式，強調一種主動探究式的學習，讓學生通過自己的努力去積極主動地建構知識，是培養學生的創新精神和實踐能力、推行素質教育的一種新的嘗試和實踐。

蝴蝶定理至今所發現的60多中證法中，初等證法就有綜合法、面積法、三角法、解析法、相似法、全等三角形法等等，證明見參考文獻［２］［３］。這些方法，都是證明兩線段相等方法的深入應用，方法非常靈活，有的實在不易想到。但我們改變以往傳統的課堂講授的形式，改師生共同完成為學生自主探索、合作交流、動手實踐、閱讀自學完成，把學生分成小組，通過思考問題、提出方案、嘗試解決、拓寬思路、查閱資料、展示成果這樣的幾個環節，讓學生帶著問題去查閱資料，去開闊思路，相互交流，共同討論。在他們的集思廣議之下，一定會使得問題有所突破。并在這樣的學習過程中，讓他們體會集體的力量，學會合作，學會分析問題、解決問題的方法。周春荔教授也曾指出，蝴蝶定理是一個研究性學習的好課題［２］。

3.尋找方便之解，誘發學生后續學習的興趣。

對于蝴蝶定理，參考文獻［２］［３］提供了眾多的初等證法。這些初等證法不僅解題過程繁瑣，而且所涉及的知識點都比較多，包括中心對稱、三角形全等、四點共圓、正弦定理等等。這些知識點，又基本上都是幾何學習中的難點，而且除解析法外，都涉及作輔助線。作輔助線，是部分學生在學習幾何是難以越躍的一條鴻溝。

蝴蝶定理有沒有形式簡潔的證明呢？當然有，此時可向學生指出，在圖2中，連接FA、FB、DA、DB，則A、P、M、B是從點C（或從點F）出發的四條直線與直線AB的交點，A、M、Q、B是從點E（或從點D）出發的四條直線與直線AB的交點，對于點A、P、M、B與點A、M、Q、B，具有

而已知AM=MB，所以得到

再應用分比定理，并注意PB-PM=AQ-MQ，就得到PM=MQ。

這一證明過程，簡潔明了，玲瓏剔透，所涉及的知識點較少，在經歷了初等解法的繁瑣后，學生一定會被它的簡潔美所折服，也會被［A，P，M，B］=［A，M，Q，B］，從而 = 所迷惑。這時，教師指出這一證明所需的知識點是“交比”，并簡要介紹“交比”這一概念，指出“交比”是《高等幾何》課程研究的內容之一，激發起學生學習《高等幾何》的興趣，并把學生誘向學習《高等幾何》的大門。

4.形式簡單的推廣和演變，為學生提供數學研究的范例。

數學書似乎永遠都是一個樣：打開之后，首先進入眼簾的是密密麻麻的數學符號，縱橫交錯的幾何圖形，大串大串的公理、定理、公式，連篇累牘的推理、推理、再推理。幾乎所有學習數學的人都認為，數學研究，數學的發展，那是數學家的事。實際上，“數學的發展正是由數學中某些概念的推廣和由此而引發的新內容、新概念、新方法、新問題的出現而導致”。［４］

下面，我們借助蝴蝶定理的推廣和演變，向學生闡述數學知識的創造過程：

蝴蝶定理的內容要求CF和ED與弦AB有交點，這就限制了弦CD和EF的范圍，當CF和ED與弦AB交于圓外時，產生了一個推論；當CF和ED交圓外的一條直線于兩點時，又產生了另一個推論，于是由蝴蝶定理的內容要求產生了兩個簡單的推論。

推論1.過圓的AB弦的中點M，引任意兩條弦CD和EF，直線CF與ED與直線AB交于P、Q兩點，則有MP=MQ。(如圖3)

推論2：l為圓O外的一直線，OM垂直于l于M點，過M引圓的任意兩條割線MCD，MEF，直線CF和ED與直線l交于P、Q兩點，則有MP=MQ。（如圖4）

在蝴蝶定理中，如果點M不是AB的中點，又可得如下的推廣：

推廣：如圖5，設M是圓的弦AB上（除端點外）的任一點，過M作圓的任意兩弦CD，EF，線段CF，DE分別交AB于G，H兩點，則

此定理成為坎迪定理，當AM=BM時，即可得GM=HM，所以蝴蝶定理是坎迪定理的特殊情形。

然后想，把蝴蝶定理中的圓演變為橢圓會是什么樣一種狀況呢？如圖6，此時，平面幾何的證法已經無能為力，解析幾何證法的優越性凸顯。事實上，在橢圓中確實也有類似的結論：過橢圓的AB弦中點作任意兩弦CD和EF，直線CF和ED交直線AB于P，Q兩點，則有PM=MQ。更有推廣到任一條非退化的二次曲線中的情形。而由二弦我們也容易想到多弦的問題，比如，在圓中拓廣可成“三翅蝴蝶問題”，但是以上都是在二維平面上的推廣情形，說到這里，就會不自覺地要去想三維空間乃至實n維歐氏空間中的二次超曲面的情形。像這樣我們不停地從特殊從一般、從常態到非常態地進行思維，通過對問題的實驗，對問題的類比，對問題結論的直覺猜想，對結論的邏輯推理證明，不斷地學習，不斷地獲得新的結論，這個過程，就是數學研究的過程。

總之，蝴蝶定理這一教學內容，不僅能有效地發展學生的推理能力，而且能引導學生感受數學的思想方法，提高數學的鑒賞力，體驗學習數學的樂趣，發展空間觀念和自主創新的意識。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］周春荔.蝴蝶定理——一個研究性學習的好課題［J］.數學通報，2004，(1).

［3］左宗明編著.世界數學命題選講［M］.上海：上海科學技術出版社，1990.

［4］吳振奎，吳旻編著.數學的創造［M］.上海：上海教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”