圓錐曲線的圖形對稱問題

摘要： 圓錐曲線向來是數學教學中的重點、難點，幾何性質多而復雜，并且可以與其它內容相結合，組成難度較大的綜合題，運用圖形對稱性解題是其中的一種比較簡潔、可行的辦法。

關鍵詞： 圓錐曲線 對稱性 圖形對稱 數形結合

在圓錐曲線的教學過程中，我們常常把教學的重心放在圓錐曲線的定義、標準方程、焦點位置、焦半徑等問題上，而比較容易忽略圓錐曲線圖像本身的特征，其實圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線的圖像都具有很好的對稱性。例如：橢圓、雙曲線既有軸對稱，又有中心對稱，拋物線也有軸對稱的性質。在實際的解題過程中，這樣的對稱性應該被好好地利用，決不能忽視它們，正確地運用對稱性質可以簡化解題步驟，找到一條解決問題的捷徑。作為教師要引導學生發現這種對稱的性質，利用這些對稱解決一些實際問題，體驗到對稱的美，這也是數學美學的一個很好的體現。

本人所教的職業中學數學課本第三冊（第63頁）中有這樣的一道例題：

例1.如圖14—15，橢圓 + =1的焦點分別是F 和F ，過中心O作直線與橢圓相交于A、B兩點，若△ABF 的面積是20，求直線AB的方程。

分析：設A（x ，y ），B（x ，y ），則有

S =S +S = （|y |+|y |）OF 。

又OF =半焦距，所以只需求出y 、y 。又因為交點A、B的坐標取決于直線AB的斜率k，因此由上式中y 、y 與k之間的關系可求得k。

解：由橢圓方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25，所以OF =c=5。

設直線AB的斜率為k，則AB的直線方程為y=kx。設點A、B的坐標分別為A（x ，y ）、B（x ，y ）。

從聯立方程組 + =1y=kx中消去x，得（9k +4）y ＝180k

解出：|y |=|y |= = 。

又S =S +S = （|y |+|y |）OF =20，即

5× =20，

解得：k=± 。

所以所求的直線方程為y=± x。

以上是課本上的解題過程，其實這并非是最好的方法，編者忽略了橢圓具有中心對稱的性質，過中心O的弦AB，點A與點B是關于原點對稱的，它們的橫坐標、縱坐標的絕對值是相同的，即S =2S ，所以可以用以下這個方法來解決這道題目。

解：由橢圓方程可知，a =45，b =20，c =a -b =25。

所以OF =c=5。

設直線AB的斜率為k，則AB的直線方程為y=kx。設點A、B的坐標分別為A（x ，y ）、B（x ，y ）。由于對稱性得|y |=|y |

∴S =2S =2× |y ||OF |=20

即|y |=4，代入橢圓方程可得x=±3

∴k=±

所以所求的直線方程為y=± x

在圓錐曲線的教學中我們常常關注圓錐曲線的方程以及幾何性質中的焦點、離心率、焦半徑等，而圖形本身是比較直觀的，我們在觀察圖像的時候，容易忽略圖形本身的特性，對稱性就是其中之一。下面我們來看看這道題目：

1.如圖1所示，線段AB是橢圓 + =1（a＞b＞0）的長軸，把AB五等分，過四個分點分別作AB的垂線，交橢圓上半部于P ，P ，P ，P 四點，F是橢圓的右焦點，則|P F|+|P F|+|P F|+|P F|的值為多少？

圖１

分析：由于將AB五等分，過四個分點分別作AB的垂線，所以P 與P 對稱，P 與P 對稱，設橢圓的左焦點為F ，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|。

解：設橢圓的左焦點為F ，顯然P 與P ，P 與P 關于y軸對稱，

因此，|P F |=|P F|，|P F |=|P F|

所以|P F|+|P F|+|P F|+|P F|=|P F|+|P F |+|P F|+|P F |=2a+2a=4a

點評：本題所運用的圖形對稱是圓錐曲線中的幾個點關于短軸對稱，諸如此類的題目很多，在有些參考書上還有將長軸17等分，但總的方法是相同的，都用到了圖形本身的對稱性質。

在有些情況下，利用圓錐曲線圖形的對稱性還可以解決圓錐曲線中其他的一些具體問題，下面我們來看這道題目：

2.已知橢圓方程為 + =1（a＞b＞0），則橢圓的內接矩形的面積的最大值是多少？

分析：橢圓的內接矩形應該關于x，y軸對稱，可以分成四個全等的小矩形，求出即可。

解：根據橢圓的對稱性，矩形的四個頂點關于中心對稱，且邊分別和x軸，y軸平行。

設：A（acosθ，bsinθ）為其一個頂點

∵x軸，y軸把矩形平分成四個全等的小矩形

∴一個小矩形的面積S=acosθ#8226;bsinθ= absin2θ

∴S = ab，當sin2θ=1時，則最大值為4S =4× ab=2ab。

利用圓錐曲線圖形的對稱性解題往往能起到意想不到的結果，以上兩道題目都屬于選擇題、填空題范疇，運用圖形對稱性解題能起到簡化運算過程，提高解題速度。在2003年高考江蘇卷中選擇題第9題就是一道典型的利用圓錐曲線圖形對稱性質的題目，下面我們一起來看一下：

3.（9）已知方程（x -2x+m）（x -2x+n）=0的四個根組成一個首項為 的等差數列，則|m-n|=（）。

A. 1B.C.D.

分析：這道選擇題看似是一道函數與數列的綜合題，其實可以看成是兩個拋物線與x軸的四個交點的橫坐標，其中之一就是 ，根據拋物線的軸對稱性質和等差數列性質就能求出其余三個根，再求出m，n即可。

解：令y =x -2x+m，y =x -2x+n，則y y =0的四個根可以看作是兩條拋物線與x軸的四個交點的橫坐標，設x -2x+m=0的兩個根為x ，x ；x -2x+n=0的兩個根為x ，x 。由已知得x = ，又因為兩條拋物線都關于對稱軸x=1對稱，所以x = ，又因為四個根成等差數列，所以x = ，x = ，分別代入x -2x+m=0，x -2x+n=0得到m= ，n= ，|m-n|= ，因此本題選（C）。

從本題可以看出有些題目從表面上并非是屬于圓錐曲線中的問題，但通過分析我們可以將實際題目進行分割轉化，數形結合，運用拋物線的對稱性解題，這個絕妙的解題思路對于本題能夠起到化繁為簡的作用，找到解題的最短路徑，大大提高解題效率。

圓錐曲線向來是數學教學中的重點、難點，幾何性質比較多，綜合運用也比較復雜，可以與其它部分相結合，組成難度較大的綜合題，運用圖形對稱性解題只是其中的一種比較簡潔、可行的辦法。在平時的教學過程中要培養學生對圖形的觀察能力，因為數學觀察就是人們對數學問題在客觀情況下考察其數量關系及其圖形性質的方法。學生的觀察能力直接影響到學生的解決問題的能力，這對于學生將來面向社會，觀察社會事物有一定的影響。解析幾何本質上就是一種數形結合，兩者有一定的獨立性，又互相依賴，過去我們偏重于對“數”進行研究，“形”只是起到一定的輔助作用，其實圖形也很重要，它與我們的實際生活聯系最為緊密，數學歸根到底不僅要鍛煉人們的思維，還要為社會生產活動服務，圖形特征是最基本的，數學中的對稱是一種美的享受，在實際教學中應融入這種“美”的教育。

參考文獻：

［1］李盤喜主編.高中數學解題題典.

［2］章士藻著.中學數學教育學.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”