多雜質零程過程的臨界密度

摘要： ZRP的臨界密度是我們所關注的，同樣雜質ZRP的臨界密度是也是我們關注的。在單雜質ZRP中， 已經能解析得出臨界密度，我們推廣為多雜質ZRP同樣解析可以求出臨界密度，同時我們引入局域化系數數值得出臨界密度。

關鍵詞： ZRP模型 凝聚 臨界密度 隨機動力學規則 局域化系數ξ

1.引言

熱溫平衡的遲豫過程是非平衡態系統的實現和研究，一般都是建立在滿足細致平衡條件［１］主方程的基礎上。細致平衡條件（對各態經歷的系統）是一個系統開始是非平衡最終達到穩態，能找出勢函數在穩態時給定正則分布。

ZRP（(Zero-Range Process零程過程）的最重要的性質是穩態有因子的乘積（product of factor）［２］。這意味著找出這個組態系統穩態概率，就是單一個位置權重的成績，穩態概率從穩態條件代表概率流歸因于跳進這個的組態和跳出這個組態的平衡條件來定義。單一位置權重在穩態概率代表著重要的角色。給定一個跳躍概率函數，能找到單一個位置權重解答這個遞歸式。

除了ZRP凝聚和躍遷概率隨著在位置上的占據數的增大而遞減有關的凝聚裝置外，凝聚和無序［３］［４］有關，后面的凝聚裝置是相當于玻色—愛因斯坦凝聚。一個特別簡單的系統［５］展示了相當于玻色—愛因斯坦凝聚，這個系統為就位置1的躍遷概率為p（p＜1），其它位置上的粒子的躍遷概率為1，滿足周期性邊界條件。這個系統中在密度足夠高就有在低概率位置上有粒子凝聚。

在文獻中研究了具有單一個雜質一個簡單的模型，和多雜質中的模型不同，這個模型展示上面提到的兩種凝聚裝置的特點（公車—路和無序導致的）。在熱力學極限，穩態可以得到預測凝聚時的臨界密度。然而，在有限系統顯示了與預測的相偏離。特別的，在低密度，流相還繼續出現比在熱力學極限下允許的更高的密度。這個結果在流上是過沖的，超過了熱力學極限的飽和值。在有限的系統中的相關結果已經在交通流模型［５］中報道了。在文獻中文章的目的是詳細分析在有限的位置上過沖是如何發生的。現在因為ZRP動力學是粒子數守恒的，自然我們應該考慮的是正則系綜。然而，發現模型的分析用巨正則系綜分析更直接。在無限系統中兩個系綜是等價的［８］。我們根據單雜質的臨界密度推廣到多雜質的系統的臨界密度。

2.單雜質ZRP［６］

我們考慮有M個位置，標有μ=1...M的一維格子，L個不可區分的粒子，每個位置可以容納（0...L）個粒子，位置上的粒子相鄰的位置跳躍，粒子的躍遷在位置1上的躍遷概率隨著在粒子數的增加而減小u （l）=β（1+ ）l為在位置1上的粒子數，其他位置上的粒子躍遷概率為1。滿足周期性邊界條件。

穩態概率分布可以用來計算系統的其他穩態性質。其中最重要的一個性質就是一個位置上的平均躍遷概率v，稱之為流。在穩態時和位置無關

對于這單雜質時

在單雜質模型中，粒子躍遷概率表達式為

u （l）=β（1+ ）（3）

u （l）=1（μ＞1）

3.多雜質ZRP

現在我們把單雜質的非均勻的系統推廣到多雜質的非均勻系統下的臨界密度。我們考慮有M個位置，L個粒子的一維格子系統，每個位置上可以容納任意（0...L）整數個粒子，其中有百分量為a的位置上的粒子的躍遷概率比其它位置上的小，滿足式為u（l）=β（1+ ），l是在離開位置上的粒子數。有百分量為（1-a）的位置上的粒子躍遷概率為1。位置上的粒子向右的方向運動。滿足周期性邊界條件。

我們用F（z）來標志雜質部分的

非雜質的部分

F （z）= （5）

單雜質的推導的密度公式［６］可得出在多雜質情況下的密度表達式

說明了在雜質位置上的粒子的平均占據數占系統的百分量為a，非雜質部分占百分量為（1-a）。根據在均勻系統下求得臨界密度是在z→β得到臨界值 ，而在z→β時，＜n ＞的臨界值為 。所以可以在這樣的系統下的臨界密度為

ρ = +（1-a） （7）

通過計算機進行模擬來得出多雜質系統下的臨界密度。現給出圖（1）通過數值模擬得出的局域化系數ξ隨密度ρ的變化關系。這里我們a=0.3，b=4，M=500，β=0.2，由式（7）我們可以很容易地解析求得在這種情況下的臨界密度為ρ =0.325，在圖中我們可以看出在密度在0.3左右開始有凝聚現象，結果和理論值符合。

4.結論

我們簡單介紹了單雜質ZRP，然后把單雜質的ZRP推廣為多雜質的ZRP，并利用巨正則系綜解析的系統的臨界密度。并且通過數值模擬得出局域化系數隨密度的變化關系，可以得出多雜質ZRP的臨界密度。這樣在實際生活中遇到這種模型，可以得出凝聚時的密度值。

參考文獻：

［1］Evans M R and Blythe R A，Physica A 313 110，2002.

［2］Evans M R，Majumdar and Zia R K P，J.Phys.A：Math.Gen.37，2004.Zia R K P，Evans M R and Majumdar ，J.Stat.Mech.Theor.Exp.10，2004.

［3］M.R.Evans.Europhys.Lett.36，13，1996.

［4］J.Krug and P.A.Ferrari，J.Phys.A 29，L465，1996.

［5］M.R.Evans，Braz.J.Phys.30，42，2000.

［6］A.G.Angel，M.R.Evans and D.Mukamel，cond-mat/0410262，2004.

［7］R.Barlovic，L.Santen，A.Schadschneider and M.Schreckenberg.，Eur，Phys.J.B 5，793，1998.

［8］S.Grosskinsky，G.M.Schutz and H.Spohn，J.Stat.Phys.113，389 Many-defect sites，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”