隨機事件概率的類型及求法

在初中階段，隨機事件的概率主要有三種類型：統計概率、古典概率和簡單的幾何概率，它們的意義及求法各不相同。因此，求隨機事件概率，應針對不同的類型靈活選用不同的方法求解。下面舉例說明。

一、統計概率

在隨機試驗中，在一定條件下大量重復進行同一試驗，事件A發生的頻率會穩定在某一個常數附近擺動，這個常數就是事件A發生的概率。這種由試驗次數很大時的頻率估計出的概率就是統計概率。

例1.“六#8226;一”兒童節，某玩具超市設立了一個如圖1所示的可以自由轉動的轉盤，開展有獎購買活動。顧客購買玩具就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就可以獲得相應獎品。下表是該活動的一組統計數據：

下列說法不正確的是（）。

A.當n很大時，估計指針落在“鉛筆”區域的頻率大約是0.70

B.假如你去轉動轉盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70

C.如果轉動轉盤2000次，指針落在“文具盒”區域的次數大約有600次

D.轉動轉盤10次，一定有3次獲得文具盒

分析：由表格可以看出，指針落在“鉛筆”區域的頻率總在0.70附近波動，而且近似等于0.70，因此可估計，當n很大時，指針落在“鉛筆”區域的頻率大約是0.70，選項A正確。

由表格可知，轉動轉盤次數最多的是1000次，此時落在“鉛筆”區域的頻率是0.69。因為0.69≈0.70，根據頻率與概率的關系可知，轉動轉盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70，選項B正確。

根據題意可知，指針落在“文具盒”區域的頻率大約是1-0.7=0.3，所以轉動轉盤2000次，指針落在“文具盒”區域的次數大約有2000×0.3=600（次），選項C正確。

因為轉動轉盤發生的結果具有隨機性，所以轉動轉盤10次，并不一定有3次獲得文具盒，選項D不正確。

解：選D。

總結：通過試驗用頻率估計概率的大小，如果得到了一組頻率值，那么將試驗次數最多的頻率值的最后一個有效數字四舍五入，作為概率的估計值。

二、古典概率

古典概率具有兩個基本特征：（1）試驗的所有可能結果只有有限個；（2）每一個試驗結果出現的可能性相同。

對于古典概率，如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A發生的概率為P（A）= ，其中表示事件A發生可能出現的結果數，n表示一次試驗所有等可能出現的結果數。

例2.小華與小麗設計了A、B兩種游戲：

游戲A的規則：用3張數字分別是2，3，4的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，第一次隨機抽出一張牌記下數字后再原樣放回，洗勻后再第二次隨機抽出一張牌記下數字。若抽出的兩張牌上的數字之和為偶數，則小華獲勝；若兩數字之和為奇數，則小麗獲勝。

游戲B的規則：用4張數字分別是5，6，8，8的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，小華先隨機抽出一張牌，抽出的牌不放回，小麗從剩下的牌中再隨機抽出一張牌。若小華抽出的牌面上的數字比小麗抽出的牌面上的數字大，則小華獲勝；否則小麗獲勝。

請你幫小麗選擇其中一種游戲，使她獲勝的可能性較大，并說明理由。

分析：先分別求出游戲A、B中游戲雙方獲勝的概率，然后再從中選擇。

解：對游戲A，用列表法列出所有可能的結果

∴所有可能出現的結果共有9種，其中兩數字之和為偶數的有5種。

∴游戲A小華獲勝的概率為 ，小麗獲勝的概率為 。

對游戲B：用列表法列出所有可能出現的結果數

∴所有可能出現的結果共有12種，其中小華抽出的牌面上的數字比小麗大的有5種。

∴游戲B小華獲勝的概率為 ，小麗獲勝的概率為 。

綜合知，選擇游戲B對小麗有利，獲勝的可能性大于小華。

總結：在隨機事件中，如果是有限等可能的二元事件，一般用列法求解。也就是說，涉及兩個因素，并且可能出現的結果數較多，可通過列表格，不重不漏地把各種結果列舉出來利用公式求解，這種方法叫做列表法。但要注意“摸出后放回再摸”與“摸出后不放回再摸”的區別。前者每次摸的所有可能的結果數與可能出現的結果數都不發生變化；而后者每次摸的所有可能的結果數與可能出現的結果數都發生了變化（列表時一般將不能再摸到的表格劃去）。

三、簡單的幾何概率

隨機事件的發生具有無限等可能性的特征，一般利用圖形的面積或線段的長度來計算概率，就是簡單的幾何概率。常見的形式主要有兩種：

（1）如果區域M上有一個區域A，假設每次試驗能夠落在區域M上的任意一點處，并且落在任意一點的可能性總是相同的。設區域M的面積為S ，區域A的面積為S ，那么一次試驗落在區域A上的概率為P（A）= 。

（2）如果線段上（其長度也記為l）有一條線段m（其長度也記為m），假設每次試驗能夠落在線段l上的任意一點處，并且落在任意一點的可能性總是相同的，那么一次試驗落在線段m上的概率為P（m）= （其中l、m表示線段的長度）。

例3（2008年徐州市中考題）.如圖2，小明隨意向水平放置的大正方形內部區域拋一個小球，則小球停在小正方形內部（陰影）區域的概率為（）。

A. B. C. D.

分析：分別求出兩個正方形的面積，則所求事件的概率就是小正方形面積與大正方形面積之比。

解：設小正方形的邊長為a

∵圓的直徑是小正方形的對角線，

∴圓的直徑長為 a。

∵大正方形的邊長等于圓的直徑，

∴正方形的邊長為 a。

∴P（小球停在小正方形內部區域的概率）= = ，選C。

例4（2008年安徽省中考題）.某火車站的顯示屏，每隔4分鐘顯示一次火車班次的信息，顯示時間持續1分鐘，某人到達該車站時，顯示屏上正好顯示火車班次信息的概率是（）。

A. B. C. D.

分析：本題具有無限等可能的特征，屬于簡單的幾何概率，可利用線段表示時間，利用線段的長求概率。

解：如圖3，用線段AC表示每隔4分鐘顯示一次火車班次的信息，其中線段BC表示顯示時間持續1分鐘。

設BC=1，則AC=5。

∴P（正好顯示火車班次信息）= ，選B。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>