高中生數學發散思維的培養探究

摘要數學教育的實質是數學思維活動的教學，學習數學離不開思維，在數學思維中層次最高的是創新性思維品質。而根據現代心理學家的見解，數學家創造能力的大小和他的發散思維能力成正比。因此加強學生發散思維的訓練方法，是培養學生創造性思維的重要組成部分。本文從四個方面對訓練學生的發散思維，促進創新能力的形成和發展作了些探索。

關鍵詞數學教學發散思維創新能力

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

發散思維也叫求異思維，是一種多向思維方式，也是一種創造性思維。具體地說:它們是從同一個來源，沿著多種不同的方向去思考，產生各種各樣為數不多的輸出，很可能產生轉換作用。它具有多向性、變通性和創造性。在高中數學教學中，進行發散思維的訓練，可以使學生掌握知識的內在聯系，理解所學知識，創造出新的思路和解題方法，在發展學生的智力上起到潛移默化的作用。

1 對數學問題解法的發散訓練

數學教學中的一題多解是屬于發散思維的范疇。它是指對數學問題多種方法，從各個不同的角度和不同途徑去尋求問題的解答，能起到拓寬思路，尋求靈活的解題方法的目的。

例1已知函數f(x)=sin2+acos2的一條對稱軸是直線x=。求a的值。

解法一:先化為一個角的一種三角函數y= sin(2+)(其中tg=a，所在象限由點(1，a) 決定)

由條件得當x=時y有最大值()或最小值(-)

∴+a=(或) ∴ a=1

解法二:由解法一利用輔助角2+=+k€%i(k∈Z)

∴ =+k€%i

∴a=tag=tag(+k€%i)=1

解法三:由對稱軸x=得f(-x)=f(+x)對任意的x∈R成立。代入函數表達式并化簡得(a-1)sinx=0 所以a=1

解法四:在f(-x)=f(+x)中令x=得f(0)=()所以a=1

例2 有9支足球隊平均分成在三組，求有兩支“冤家”隊分到同一組的概率。

解法一:平均分成三組的總基本事件數是=280種，“冤家”隊在同一組的基本事件數是=70 種。 所以概率為p==

解法二:先把其中一個隊分在某一組，然后另一支隊有8種分法，其中兩隊在同一組的有2種分法，所求概率為P=

數學教學離不開解題教學，也不乏其例，因此在平時教學中，不失時機地通過一題多解的發散訓練，會使勤思考的學生，會別出心裁地提出一些新的解題方法，有利于培養學生思維的多向性，激發他們的創造力。同時，可以拓寬學生的解題思路，增強知識間的內在聯系。

2 對數學問題的同一條件的結論發散訓練

對結論的發散是指:確定已知條件后沒有現成的結論讓學生盡可能多去挖掘、尋找未知結論，并去求解這些未知結論。

例3 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F，過焦點F的直線L交拋物線于兩點A(x1、y1)，B(x2、y2)。問由此得出哪些結論:讓學生進行討論、探索，可以得出如下的一些結論。

結論一、由拋物線的定義可得lABl =x1+x2+p。若x1+x2則可得弦AB的長及直線AB的斜線。

結論二、y1y2=-P2

結論三、以AB為直徑的圓與準線x=-相切。

結論四、分別過A、B兩點作準線x=-的垂線，垂足分別為C、D，則以CD為直徑的圓與直線L相切于F。

結論五、A、O、D(或B、O、C)三點共線。

結論六、若直線的傾斜角為，則lABl=。

通過這樣的訓練，能夠提高學生思維的廣度和深度，溝通數學知識間的聯系。利用條件探索結論有利于學生綜合發散的能力的培養，也利于刻苦鉆研精神和創新性思維的培養。

3 對數學問題的同一結論條件發散訓練

對問題的條件發散是指:問題的結論確定以后，盡可能變化已知條件，進而有不同的角度，用不同的的知識點來解決。

例4 已知橢圓的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c。

試給出適當的條件確定橢圓方程+=1。

對于這樣的訓練，不同層次的學生都可以嘗試。自己出題目自己解答，學生有一種愉悅感，能體驗到成功的喜悅，從而激發學生學習興趣。

4 對數學問題的結論引申的發散訓練

對問題的結論引發散是指:在問題解決后引導學生反思能否適當挖掘、推廣，找出特殊與一般的關系，提示問題的一般性。

例5已知橢圓+=1的左右焦點分別分F1F2，P是橢圓上的一點，若∠F1PF2=90o。求三角形F1PF2的面積。

本問題解決以后引導學生改變角的度數，同樣求三角形F1PF2的面積。學生做了一些嘗試，有如下變式(1)∠F1PF2=600、450等。

變式(2)當∠F1PF2為最大時求三角形F1PF2的面積。

在這基礎上引導學生探索出一般結論。已知橢圓+=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2、P是橢圓上的一點，若∠F1PF2=a。則三角形F1PF2的面積為b2tg。再引導學生類比發散到雙曲線上有相應的結論:已知雙曲線-=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2、P是橢圓上的一點，若∠F1PF2=a。則三角形F1PF2的面積為b2ctg。

通過這樣的一題多變，探究一般性問題的訓練，可以起到舉一反三、觸類旁通、以點帶面的效果，可以開拓學生的視野，拓寬學生思維，培養學生的創新能力。

愛因斯坦說過:“從新的角度去思考同一個問題。卻需有創新性的想象力。”重視從不同角度、多側面、多層次去探索一個問題的發散思維的訓練，能促進學生的創新能力的形成和發展。