特征值與特征向量的若干性質及其幾例應用

摘要本文介紹了特征值與特征向量的相關內容和性質，以及它們在高等數學中的應用計算和分三部分探討有關矩陣的特征值與特征向量的問題，分別是引言，特征值與特征向量的常用性質，接著通過例題詳加討論。

關鍵詞特征值特征向量方陣

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1 引言

工程技術中的一些問題，如振動問題和穩定性問題，常可歸結為求一個方陣的特征值和特征向量的問題，數學中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題，也都要用到特征值的理論。故其應用之廣泛可見一斑，以下即是其幾點常見的特征值和特征向量的應用問題。

2 矩陣特征值、特征向量的常用性質

2.1相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式。

2.2如果€%d是矩陣 A 的一個特征值，是一個多項式，那么是矩陣多項式的一個特征值。

2.3如果A 是一個可逆陣，€%d是 A 的一個特征值，那么，1/€%d是A-1 的一個特征值。

2.4屬于不同特征值的特征向量線性無關。

2.5對矩陣A 的每個特征值，它的幾何重數一定不超過代數重數。

2.6如果A 是一個對稱矩陣，那么它的每個特征值的幾何重數與代數重數相等，從而它有個線性無關的特征向量，他一定可以對角化。

3 應用舉例

3.1 特征值與特征向量

例1 求矩陣的特征值，特征向量。解:|€%d|==(-3)(-2).即，對應特征向量為，.即，對應特征向量為，.例2對階矩陣、，試證與必有相同的特征值。解證一 若的特征值，則det，從而必det，所以亦是的特征值。若是的任一非零特征值，則必有特征向量，使。兩邊同乘，有，因(若則矛盾)，故上式表明是的特征值而對應的特征向量是，證畢。

證二對2階矩陣作分塊初等變換，有故即det()=det

因與有相同的特征方程，故特征值全同。證畢。

3.2 矩陣相似性之判定

例2求矩陣的特征值和特征向量，并討論其是否可相似對角化。

解

∴ J有特征值，

故可得的基礎解系為及. 即對應的特征向量為，，由此可知可相似對角化，事實上是對稱矩陣。

3.3 Jordan標準形問題

例3求矩陣 的Jordan標準形:.

解先求-的初等因子:

因此，的初等因子是，()2，故的Jordan標準形是

3.4 二次型的正定性問題

例4判別二次型是否為正定二次型。

解:二次型的矩陣為，

從而可知是正定二次型。

例5設為實對稱矩陣，且，問是否為正定矩陣。

解:設為的特征值，則滿足方程。

即。從而此方程的實根僅有

又實對稱矩陣的特征值均為實數，所以的特征值均為1，所以是正定矩陣。