數字圖像的固定基稀疏表示方法

(1.信陽師范學院物理電子工程學院， 河南信陽 464000;2.華中科技大學 多譜信息處理技術國防重點實驗室遙感圖像處理研究室，武漢 430074）

摘 要：提出了一種采用小波與輪廓波混合的固定基數字圖像描述和變換方法，該變換在較粗糙的尺度上采用小波變換，在細節尺度上采用輪廓波變換，既能夠克服可分離小波在圖像描述方面高頻子帶方向分辨率較低的缺陷，又能夠降低輪廓波變換的計算復雜度。實驗結果表明，本方法在具有良好的數字圖像逼近能力的同時，還具有很好的消噪結果。

關鍵詞：小波變換；輪廓波變換；固定基；冗余度

中圖分類號：TN91173 文獻標志碼：A

文章編號：10013695(2009)01036402

Fixedbase sparse representation for digital images

CHEN Xinwu1，2，Zhu Yuxiang1

（1.College of Physics Electronic Engineering， Xinyang Normal University， Xinyang Henan 464000， China;2.Institute for Pattern Recognition Artificial Intelligence， Huazhong University of Science Technology， Wuhan430074， China)

Abstract:This paper proposed a fixed base sparse representation by mixing wavelet transform and contourlet transform for digital images.The transform performed wavelet transform at coarser scales and contourlet transform at detail scales， thus could overcome the image representation limitations of separable wavelets due to its limitation for directional information and reduced the computation complexity of contourlet transform. Experimental results show that the mixed transform can approximate digital images efficiently， furthermore， the performance for image denoising good is very good.

Key words:wavelet transform; contourlet transform; fixed base; redundancy

0 引言

是否能夠高效準確地實施圖像處理任務（如壓縮、去噪、特征提取、圖像索引等）均需要有效的圖像表示方法，圖像表示是絕大多數圖像處理工作的核心[1]。對于一種圖像描述方法，希望它具有的特征包括：多分辨率、局部化、方向性、低冗余度、各向異性和有效的實現方法等。前三個特征是由人類視覺系統的基本特性和自然圖像的統計特性所決定的。特別地，多尺度要求圖像可以從粗糙尺度到細節尺度逐層逼近；局部化意味著基元在時域和頻域均可以局部化；方向性要求表示法具有較高的角度分辨率，要求基元能夠包含有大量不同的方向。對于某些應用來說，如壓縮，則要求表示法是非冗余的，因此往往要求變換中使用臨界采樣。在這種情況下，要求采用一組函數來張成圖像空間的一個基。如何尋找合適的基函數一直是圖像處理工作人員和相關數學研究領域的熱點問題。

近幾年，Candès等人提出了一種新的展開式，這種展式使用曲線波在連續二維空間實現。對于二維分段光滑C2函數，這種展式達到了本質上最優的近似。對于這種類型的函數，最好的M項近似誤差|f-f^M|22的衰減速率為O((log M)3M-2)，而對于小波而言，衰減速率則為O(M-1)，傅里葉基的衰減速率則為O(M-1/2)[2，3]。因此，對于具有光滑輪廓或邊緣的典型圖像，使用類似曲線波的方法，相對于小波方法而言，可以有一個顯著的改善，這種改善的程度與從傅里葉變換到小波變換的程度相當（對于一維分段光滑曲線而言）。更為重要的是，曲線波揭示了使用固定基函數分析具有光滑輪廓或邊緣的圖像，實現最優表示是完全可行的。

曲線波變換起初是在連續域通過多尺度濾波進行處理，然后在每一個帶通圖像上進行塊脊波變換[4]。后來，他們提出了第二代曲線波變換，該變換直接通過頻率分割定義，而不再使用脊波變換。這兩種曲線波變換均需要進行一個旋轉操作，并基于極坐標進行二維頻率分割。這就使得曲線波結構容易在連續域實現而不容易在離散圖像上實現（由于基于矩形的采樣）。特別地，在離散結構上實現臨界采樣則似乎很困難。這種困難的原因在于，典型的矩形形狀的采樣強行對離散圖像施加了一個幾何形狀，如更偏重于水平方向和垂直方向。這個事實激勵學者們研究一種類似于曲波變換的變換，這種變換直接定義在離散域，這就是著名的輪廓波變換[5]。

除了曲線波變換和輪廓波變換之外，還有一些變換適用于描述物體的幾何特征。比較著名的有帶波變換（bandelets）、邊緣自適應多尺度變換、楔波變換 (wedgelets)和四叉樹編碼等。這些方法的共同典型特點是：首先進行邊緣檢測；然后進行自適應表示。相比而言，由于曲波變換和輪廓波變化是固定基表示，所以可以有更廣泛的適用范圍。例如，由于不依賴于邊緣檢測，可以避免由于邊界檢測的噪聲敏感性而帶來不可靠問題。而且，當使用輪廓波進行圖像壓縮時，可以使用諸多已經成熟的變換編碼知識。

一些其他著名的能夠實現多尺度和多方向的圖像表示的方法包括2D Gabor小波、Cortex變換、可操縱金字塔、2D方向小波、Rushlets、復小波變換。這些方法和輪廓波變換的區別在于：實現接近臨界采樣的同時，前者不允許在不同的尺度上進行不同方向個數的分解。另外，輪廓波變換在具體實現上可以使用迭代濾波器結構，從而使其計算更高效，且與連續域有一個可以精確描述的確定關系。

鑒于輪廓波變換的種種優勢，近幾年來許多學者對它進行了改進和應用。典型代表有無下采樣輪廓波變換、全相位輪廓波變換、基于小波的輪廓波變換、臨界采樣輪廓波變換等。其中：無下采樣的輪廓波變換具有最高的冗余度和最好的消噪能力；基于小波的輪廓波變換和臨界采樣輪廓波變換具有最小的冗余度。本文提出的變換吸收了小波變換和輪廓波變換各自的優點，屬于一種混合變換。與基于小波的輪廓波變換相比，具有更好的逼近能力。

1 基于輪廓波與小波的混合變換方法

在基本的輪廓波變換中，首先使用一個冗余金字塔實現多尺度分解；然后將金字塔分解出來的高頻子帶信號送給臨界下采樣方向濾波器進一步分解，并將相同方向的系數進行合并，從而實現圖像信號的多分辨率和多方向分析（圖1）。

在金字塔分解的每一級，只有低通頻帶在垂直方向和水平方向被下2采樣，產生一個5/4的冗余度，因此有

limn→+∞rp=4/3

即：當拉普拉斯金字塔有無窮多級數時，整個系統的冗余度為4/3。通常情況下，低通分解和合成濾波器使用9/7抽頭濾波器[5]。方向分解需要首先重采樣來獲取2n個方向子帶，然后采用雙通道扇形濾波器組進行n次迭代來完成。

盡管輪廓波變換在使用較少系數來逼近圖像輪廓方面非常有效，當變換系數的個數較多時，相對于小波而言，它對于自然圖像描述的有效性以及逼近能力則呈下降趨勢。事實上，在類似于無損壓縮這種極端的情況下，信號的能量擴散到更多的系數中，小波變換表現出更優良的性能。由于自然圖像在較低的頻帶通常含有較多的能量，在一定的比特率下，在粗糙尺度上的小波系數和輪廓波系數要遠遠多于細節尺度上的系數。由于低通頻帶上的輪廓波變換與9/7小波變換幾乎完全相同，每一層可以被分解為三個小波方向子帶或者2n個輪廓波方向子帶；而且，由于信號能量隨著尺度變細而逐漸降低，在變換系數中多記錄的數據僅僅有一個，那就是在哪個尺度上是從小波變換切換到了輪廓波變換。確定臨界尺度要根據具體的應用領域而定，不同類型的處理對象，可以有相對穩定的臨界尺度。

該變換可以根據需要靈活地進行頻率分割，一種典型的頻率分割方法如圖2所示。其中，（a）是典型的輪廓波頻率分割情況；（b）是小波的頻率分割情況；（c）是混合變換的頻率分割情況。在高頻部分，輪廓波變換的方向子帶個數可以是2的整數次冪，冪次的大小可以任意指定，所以圖2所示的方向分割只是一種示例。

2 基于輪廓波與小波的混合變換方法的優勢

由于兩種變換均可以分解為任意層數，而且輪廓波變換在每一層均可以使用任意多的方向個數（考慮到輪廓波包），這兩種變換不可能進行精確的硬件復雜度比較。此處只是簡單地比較將兩種算法直接映射為硬件的情況下硬件的復雜程度。而且，由于逆變換的硬件結構與正變換的硬件結構比較結果基本相同，此處只給出正變換的比較。

筆者考慮兩種變換采用相同的分解層數的情況。實驗表明，混合變換采用的分層為五層比較合適。其中最低一層（即最粗糙的一層）為低頻子帶，其他四層為高頻子帶。為了描述方便，采用向量形式的分解結構編碼方法，如[0，0，0，4，4]表示該混合變換的分解層數為五層，三個“0”中第一個表示低頻子帶，后兩個表示緊鄰的高頻子帶，后面兩個“4”表示兩個最高頻率的方向子帶個數均為24＝16。

如果某一層采用小波變換，筆者認為采用簡單的“97”小波變換，對于輪廓波變換中用于生成二維濾波器的一維濾波器也認為采用“97”小波。圖3是輪廓波變換中所用的方向濾波器，為了簡化起見，此處只畫出了兩級，即四個方向的情況。容易知道，對于24個方向的方向濾波器，需要使用的雙通道濾波器組的個數為8＋4＋2＋1＝15；同樣情況下如果使用小波變換（采用類似的結構），則所使用的濾波器組的個數為6個。而且，由于小波變換采用可分離結構，正變換所使用的卷積濾波器尺寸大小為9，而輪廓波變換采用的典型濾波器則通常是45×23[6]，正變換采用的卷積濾波器的大小為45，在這種典型的情況下，計算復雜度的比值為(45×15)/(6×9)＝125，也就是說，輪廓波變換需要的計算時間是小波變換的125倍。可以得出的結論是：在同一尺度上，使用輪廓波變換的計算量要遠遠高于小波變換。當將這些軟件映射為專用集成電路（ASIC）時，這些計算通常都在關鍵路徑上，因而將會大大降低芯片整體的運算速度。為了減少關鍵路徑帶來的速度問題，往往還需要在這些路徑上犧牲可測試功能[7]。總的來說，采用輪廓波變換比采用小波變換將帶來更多的硬件問題。另一方面，采用小波變換的子帶可以不采用拉普拉斯金字塔結構，因而該層不產生5/4的冗余度。因此，混合變換的冗余度略低于輪廓波變換。本變換相對于基本輪廓波變換而言，具有較低的計算復雜度和較低的冗余，這就使得該變換具有較高的運算速度，所需存儲空間也相對較少，此種變換更適合于適時處理和空間站等環境中。

3 實驗結果與分析

本文針對一組海島圖像進行了大量實驗，實驗表明，圖像分割的尺度數通常為5層即可以滿足一般要求（其中最低層為低頻子帶）。根據實際需要，選取壓縮比例為100：1。在具體實現上，小波變換采用“97”小波；輪廓波變換采用基本的輪廓波變換[5]；本文提出的混合變換在小波變換尺度上采用“97”小波，在輪廓波變換尺度上采用基本的輪廓波變換[5]。圖4(a)為某海島圖像的一角；(b)是分解層數為[0，3，3，4，4]的輪廓波變換的逼近效果；(c)為小波變換的逼近效果；(d)為本文提出的混合波變換的逼近效果。從圖中可以看出，本文提出的混合變換逼近的視覺效果遠遠優于小波變換，略遜于輪廓波變換（輪廓波變換具有更多的“人為線段”），但是由于其計算時間比輪廓波變換短約40％并具有較小的冗余度，使得該變換更容易滿足適時處理和圖像壓縮的要求。

4 結束語

本文提出了一種基于輪廓波變換與小波變換的混合變換。該變換在較粗糙的尺度上使用小波變換，在更細節的尺度上使用輪廓波變換，是一種固定基描述方法。實驗結果表明，在大約100:1的壓縮率下，使用該變換可以有效地逼近原始海島圖像。其逼近效果優于小波變換，其冗余度略低于輪廓波變換，計算時間和硬件復雜程度低于基本輪廓波變換，比輪廓波變換更適合于數字圖像實時處理的場合以及要求較高壓縮比的情況。

參考文獻：

［1］

MALLAT S.A wavelet tour of signal processing[M].Orlando:Academic Press，1999.

[2]CANDES E J，DONOHO D L.Ridgelets:a key to higherdimensional intermittency[J].Philosophical Trans on the Royal Society of London Series A:Mathematical and Physical Sciences，1999，357(1760):24952509.

[3]PENNEC E L，MALLAT S.Sparse geometric image representation with bandelets[J].IEEE Trans on Image Processing，2005，14(4):423438.

[4]COHEN A，MATEI B.Compact representation of images by edge adapted multiscale transforms[C]//Proc of IEEE Int Conf on Image， Special Session on Image Processing and Nonlinear Approximation.Piscataway，NJ:IEEE Press，2001:811.

［5］DO M N，VETTERLI M.The contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Trans on Image Processing，2005，14(12):20912106.

[6]PHOONG S M， KIM C W，VAIDYANATHAN P P，et al.A new class of twochannel biorthogonal filter banks and wavelet bases[J].IEEE Trans on Signal Proc，1995，43(3):649665.

[7]陳新武，劉金根.基于IEEE Std 1149.1—2001標準的TAP控制器設計[J].信陽師范學院學報：自然科學版，2006，19(4):452454.