線性代數(shù)教學(xué)方法的實(shí)踐與總結(jié)

鄭穎慧 王麗麗

【摘要】本文給出了線性代數(shù)教學(xué)體系的設(shè)計(jì),及雙基教學(xué)方法的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 雙基教學(xué) 實(shí)踐與總結(jié)

一、引言

數(shù)學(xué)作為最古老的學(xué)科之一,對(duì)于人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展、科學(xué)的進(jìn)步起著舉足輕重的作用,隨著知識(shí)的細(xì)化,數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有了許多分支,線性代數(shù)就是其中的一支。而如今它作為一門(mén)基礎(chǔ)課在高等學(xué)府的各個(gè)專(zhuān)業(yè)里幾乎都有開(kāi)設(shè),這也足以顯示它的重要性。線性代數(shù)以其理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性、方法上的靈活多樣性以及與其它學(xué)科之間的滲透性,使得它在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工程技術(shù)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。并且線性代數(shù)對(duì)學(xué)生邏輯思維能力、抽象思維能力及對(duì)事物認(rèn)知能力的培養(yǎng)也是至關(guān)重要的。另外線性代數(shù)可為解決實(shí)際問(wèn)題提供重要方法,因?yàn)樵诂F(xiàn)代研究中我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系,還要研究多個(gè)變量之間的關(guān)系,而各種實(shí)際問(wèn)題可以線性化,由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展,線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái),線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。同時(shí)線性代數(shù)也是學(xué)習(xí)其它許多課程不可缺少的基本工具。

因此線性代數(shù)這門(mén)課對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展起著一定的基礎(chǔ)性作用。這就需要教師在教這門(mén)課時(shí),要給出教好的教學(xué)體系的設(shè)計(jì),結(jié)合適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,以達(dá)到較好的教學(xué)效果。本文就自己對(duì)這門(mén)課幾年的教學(xué)實(shí)踐,總結(jié)了一套切實(shí)可行的教學(xué)方法。

二、課程基本內(nèi)容及其組織

線性代數(shù)反映在大綱的基本內(nèi)容主要是行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、二次型這五塊,有關(guān)的理論和算法體系縱橫交錯(cuò),形成網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu),這就需要在內(nèi)容的組織上有一定的設(shè)計(jì),根據(jù)切入點(diǎn)和推進(jìn)思路,由線性方程組切入,與中學(xué)代數(shù)直接銜接,學(xué)生會(huì)比較容易入門(mén)。然后漸次提出新問(wèn)題、引進(jìn)新工具、克服新困難,這樣來(lái)延伸思路,將線性關(guān)系和線性結(jié)構(gòu)的靈魂滲透其中,引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)算法的同時(shí)體會(huì)背后的關(guān)系和理論,一步一步登上線性空間、集成思維的新境界,使得他們的思維層次得以提升。圍繞這樣一個(gè)主導(dǎo)思路來(lái)組織內(nèi)容,會(huì)更有利于教學(xué)效果的提升。

三、教學(xué)體系的設(shè)計(jì)

行列式、矩陣是線性代數(shù)最為重要的內(nèi)容,在整個(gè)教學(xué)中,以行列式、矩陣作為計(jì)算工具,向量空間作為思維工具,用它們?nèi)ソ鉀Q多元一次的線性方程組和多元二次的二次型。以下給出對(duì)各章的安排。

第一章回顧中學(xué)解方程組的方法,由消元法給出二階三階行列式的定義,通過(guò)對(duì)三階行列式的剖析,結(jié)合n級(jí)排列的逆序數(shù)給出n階行列式的定義,然后依據(jù)n階行列式的定義推導(dǎo)出行列式的性質(zhì),最后引出Cramer法則,指出這是對(duì)多元問(wèn)題作整體處理的新思路,是處理手段和思維方式的提升。

第二章對(duì)于不符合Cramer法則條件的方程組,由整體處理思路引出矩陣,主要介紹矩陣的計(jì)算、分塊矩陣、逆矩陣的求法。

第三章重點(diǎn)學(xué)習(xí)矩陣的初等變換,矩陣的秩,講解這些知識(shí)的同時(shí)結(jié)合解方程的方式,體現(xiàn)出整體處理的優(yōu)勢(shì)。

第四章這些算法蘊(yùn)含著怎樣的關(guān)系?方程組的不同類(lèi)型、矩陣的不同等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形與向量之間的關(guān)系又如何?引出向量組的相關(guān)性與秩,從向量組上升到向量空間。這樣解線性方程組的必要理論都具備了,接著完整講解線性方程組理論,這時(shí),算法不再重要,重點(diǎn)是理解線性方程組類(lèi)型的識(shí)別及通解和解集的結(jié)構(gòu)。

這是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的第一階段,對(duì)矩陣和向量空間的要求以解線性方程組夠用の度。這樣可使難點(diǎn)分散,也使學(xué)生比較容易接受和推進(jìn)。第一階段要達(dá)到兩個(gè)目的:第一,基本掌握線性代數(shù)中的三大算法(行列式、矩陣、線性方程組),具備整體處理多元一次問(wèn)題的能力;第二,開(kāi)始接觸向量的線性相關(guān)性和線性變換,有了基本概念,尤其是有了秩這個(gè)深刻概念,為下一階段做好鋪墊。第二階段以向量的線性關(guān)系和空間的線性結(jié)構(gòu)為主線來(lái)推進(jìn)。

第五章主要是延伸矩陣?yán)碚?包括討論方陣的特征值與特征向量,由初等變換引向相似變換、合同變換、正交變換,討論四個(gè)變換的關(guān)系、性質(zhì)、用途的異同,以及方陣的對(duì)角化問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)線性變換和矩陣的理解再大大前進(jìn)一步。接著,著手解決多元二次型問(wèn)題,主要是標(biāo)準(zhǔn)化和正定性兩個(gè)問(wèn)題。

學(xué)到這個(gè)階段,學(xué)生就能教好地領(lǐng)略到線性代數(shù)的強(qiáng)大作用,學(xué)生的思維能力和邏輯推理、數(shù)學(xué)表述會(huì)有很大提升,這就基本上達(dá)到了這門(mén)課的教學(xué)目的,實(shí)現(xiàn)了它的教學(xué)理念。

四、雙基教學(xué)方法的應(yīng)用

中國(guó)數(shù)學(xué)教育主要以雙基教學(xué)為主要特征,數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的定義是:數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能。但“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”作為特定的名詞,其內(nèi)涵不只限于雙基本身,還包括在雙基之上的發(fā)展。

1.雙基教學(xué)的理論特征

(1)記憶通向理解。理解是記憶的綜合,數(shù)學(xué)雙基強(qiáng)調(diào)必要的記憶。例如,行列式性質(zhì)的記憶,使之成為行列式計(jì)算的直覺(jué)和條件反射。但理解不能孤立地進(jìn)行,對(duì)一些行列式的計(jì)算,能夠理解的當(dāng)然要操練,一時(shí)不能理解的也要操練,在操練中逐步加深理解。

(2)速度贏得效率。數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為,只有把基本的運(yùn)算和基礎(chǔ)的思考,化為“直覺(jué)”,能夠不假思索地進(jìn)行條件反射,才能贏得時(shí)間去做更高級(jí)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。比如行列式和矩陣的計(jì)算是線性代數(shù)的基礎(chǔ)部分,這個(gè)基礎(chǔ)打好了我們就能去很快的熟練掌握線性方程組的解法和對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化等難度較高的知識(shí)點(diǎn)。

(3)嚴(yán)謹(jǐn)形成理性。中國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),則注重理性的思維能力。人的生活和工作都需要這種能力,所以才顯出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性,而要學(xué)好數(shù)學(xué)就必須有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

(4)重復(fù)依靠變式。中國(guó)的數(shù)學(xué)教育重視“變式練習(xí)”,在變化中進(jìn)行重復(fù),在重復(fù)中獲取變化,概念變式、過(guò)程變式、問(wèn)題變式等多種方式是數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的有機(jī)組成部分。

2.雙基教學(xué)的層次

(1)雙基基樁建設(shè)。行列式的性質(zhì)和計(jì)算、矩陣的運(yùn)算、逆矩陣的求法、矩陣的初等變換是整個(gè)線性代數(shù)的“基樁”,必須打得堅(jiān)實(shí),形成條件反射,熟練得成為直覺(jué)。

(2)雙基模塊教學(xué)。雙基的基本呈現(xiàn)方式是“模塊”。首先是主要知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)配套知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié),成為一條“知識(shí)鏈”,然后通過(guò)“變式”形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),再經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的提煉,形成立體的知識(shí)模塊。

以解線性方程組的模塊為例。首先需要具備行列式的性質(zhì)和計(jì)算,矩陣的初等變換的“基樁”技能。然后逐步形成以矩陣的秩為主的知識(shí)鏈,接著通過(guò)系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)討論線性方程組是否有解以及有解時(shí)是否有唯一解的問(wèn)題。雙基模塊教學(xué)有很多行之有效的經(jīng)驗(yàn)，例如使用典型例題，通過(guò)變式形成問(wèn)題串，然后提高到數(shù)學(xué)思想方法的高度加以總結(jié)。(3)雙基平臺(tái)。在掌握了雙基的模塊之后，必須尋求雙基的發(fā)展，這便是“雙基平臺(tái)”。雙基平臺(tái)具有以下特征。

基礎(chǔ)性：直接根植于雙基，是雙基模塊的組合、深化與發(fā)展；

綜合性：雙基平臺(tái)跨越多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合幾個(gè)“雙基模塊”，形成數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)結(jié)。

發(fā)展性：雙基平臺(tái)主要為數(shù)學(xué)解題服務(wù)，能夠居高望遠(yuǎn)，看清一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，獲得解題的策略。

例如，求一個(gè)正交變換x=py，把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型。就是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的平臺(tái)，解題過(guò)程涉及行列式的計(jì)算、方陣的特征值和特征向量、向量的正交化、正交矩陣、矩陣的初等變換等許多知識(shí)。雙基平臺(tái)是數(shù)學(xué)雙基教學(xué)向前發(fā)展的必然結(jié)果，許多數(shù)學(xué)建模課題、研究性學(xué)習(xí)的課例，都是一種雙基平臺(tái)。

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