培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

朱洪奎

數(shù)學(xué)這門學(xué)科是一門以邏輯思維為主的學(xué)科。學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)必須通過范例來掌握一般原理，形成良好的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)，否則知識(shí)不形成結(jié)構(gòu)，也就不能進(jìn)行遷移。但學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)必須轉(zhuǎn)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能使外部邏輯變成內(nèi)部邏輯，從而提高認(rèn)識(shí)水平。怎樣才能培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？

1 不僅要注意局部，更要注意整體

經(jīng)驗(yàn)表明，如果在教學(xué)中只注意局部，就會(huì)造成如下現(xiàn)象：學(xué)生很難通過自己的“悟化”，把握問題的整體性和規(guī)律性，并以某種簡(jiǎn)練的壓縮形式納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，常常表現(xiàn)出解題中的呆板、僵化、不靈活等特征，從而不能舉一反三，觸類旁通，向認(rèn)知的更高水平發(fā)展。

在平常的教學(xué)中，如果學(xué)生掌握某種知識(shí)共性，那就會(huì)克服局部認(rèn)識(shí)的局限性，達(dá)到全面的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)代教學(xué)研究表明，局部學(xué)習(xí)與整體學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來，將會(huì)收到較好的學(xué)習(xí)效果。

例如：已知х²-3х+1=0，求х+1/х。如果只看到結(jié)果是求兩數(shù)和，那么就會(huì)把х求出來再代入х+1/х求得其值。這樣能夠求出其值。但是非常繁雜，并且容易出錯(cuò)。如果能把х+1/х看成一個(gè)整體，通過對(duì)х²-3х+1=0進(jìn)行變異得х-3+1/х=0，那么很快就能得到正確的結(jié)果，還能使人心情更加暢快，增加對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

2 不僅要注意整體，更要注意過程

在教學(xué)中，如果把解題得到的某種結(jié)論性的東西，總結(jié)成一套模式，然后去套題，是不妥當(dāng)?shù)摹ｋm然必要的總結(jié)是不可少的，但不能把某種“模式”作為解題的“萬靈藥方”。這樣做不利于知識(shí)的掌握，也不利于促進(jìn)學(xué)習(xí)思維的靈活性和創(chuàng)造性。因此，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)知識(shí)與應(yīng)用的發(fā)生過程。這樣才有利于知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系和思維聯(lián)想過程，才能有利于發(fā)展數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例：已知х²+2хy+2y²-4y+4=0，求х+y的值。解：(х+y)²+(y-2)²=0，х=-2，y=2，從而可求出х+y的值。啟示：給定一個(gè)方程求兩個(gè)未知數(shù)的值，可將方程分解成2個(gè)非負(fù)數(shù)之和。

3 不僅要注意過程，更要注意解題中的教學(xué)思想、方法，在此基礎(chǔ)上理解達(dá)到創(chuàng)新

現(xiàn)代教學(xué)強(qiáng)調(diào)理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)特征，使新舊知識(shí)建立本質(zhì)的、非人為的聯(lián)系，才能靈活地運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，解決問題，發(fā)現(xiàn)問題。

數(shù)學(xué)教學(xué)在一定程度上是以解題為中心的教學(xué)。如果孤立地處理這種問題，不注重發(fā)現(xiàn)問題的背景和相關(guān)知識(shí)系統(tǒng)與命題系統(tǒng)的關(guān)系，便不會(huì)收到鍛煉學(xué)生思維的目的。因此，必須突出數(shù)學(xué)思想方法，在把握問題、理解問題的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，從而使知識(shí)達(dá)到一個(gè)更高的水平。只有這樣，才符合新世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)，提高學(xué)生的智力，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能，才能使他們具有訓(xùn)練有素的觀察能力、分析能力、抽象概括能力、推理活動(dòng)能力、演算和轉(zhuǎn)化的能力以及批判能力和創(chuàng)造能力等良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

例如：順次連接四邊形的四邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形；順次連接平行四邊形的四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；再將平行四邊形特殊化進(jìn)行，順次連接菱形四邊形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形；順次連接矩形四邊形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形。

從上面的例子一般化、特殊化、類比、推廣的豐富聯(lián)想中可以看出，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維具有重要的意義，同時(shí)也使學(xué)生的知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平飛躍上了一個(gè)新的臺(tái)階。

4 數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)，應(yīng)符合現(xiàn)代社會(huì)需要，才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到應(yīng)用要求，才能使知識(shí)結(jié)構(gòu)更加實(shí)用化

數(shù)學(xué)的應(yīng)用性決定了學(xué)習(xí)的內(nèi)容必須是“有用”的。沒有用的數(shù)學(xué)，即使人人都能夠接受，也不能使知識(shí)結(jié)構(gòu)良性化。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用會(huì)更加廣泛。因此，在數(shù)學(xué)中選擇內(nèi)容時(shí)，要考慮現(xiàn)代社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域所必需的、有用的數(shù)學(xué)。這也是大眾數(shù)學(xué)追求的理念之一——人人學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)。這就意味著數(shù)學(xué)教育讓學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)應(yīng)該既是社會(huì)所必需的，又是個(gè)體發(fā)展所必需的；既對(duì)學(xué)生走向社會(huì)適應(yīng)未來生活有幫助，又對(duì)學(xué)生的智力訓(xùn)練有價(jià)值。但究竟何為“必需、有用”，則是一個(gè)價(jià)值判斷的過程。

數(shù)學(xué)是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要途徑。作為一個(gè)公民，掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技術(shù)是必須的，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為公民素質(zhì)的一個(gè)重要組成部分。也可以說不具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，就不能成為合格的公民，不能很好地適應(yīng)社會(huì)發(fā)展對(duì)人的素質(zhì)需求。特別是科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，有更多的領(lǐng)域需要數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，離開數(shù)學(xué)，人們幾乎寸步難行。正因?yàn)檫@樣，在選擇教學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)更加重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)的條件。比如，通過適當(dāng)運(yùn)算把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，懂得多種解決問題的方法，能和他人合作解決問題，相信數(shù)學(xué)的價(jià)值與用途，掌握猜測(cè)與推理的手段和方法，會(huì)進(jìn)行探索、創(chuàng)新等，以更好地適應(yīng)未來社會(huì)的發(fā)展。

5 良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，還體現(xiàn)在交流上

一個(gè)人的智慧是有限的，隨著知識(shí)的迅速膨脹，時(shí)代的發(fā)展，通過一個(gè)人的力量就深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)及特征已經(jīng)變得不可能了。只有通過交流才能發(fā)展和深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。因?yàn)榻忉尅⑼茢嗪蛯?duì)自己思想進(jìn)行口頭和書面的表達(dá)，可使學(xué)生加深對(duì)要領(lǐng)和原理的理解。交流可以有助于強(qiáng)化教學(xué)和思維，有效地組織思維活動(dòng)。同時(shí)通過向教師和同伴表達(dá)數(shù)學(xué)想法，并傾聽他人的教學(xué)表達(dá)，可以拓寬和豐富自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。不同數(shù)學(xué)表達(dá)，可以使學(xué)生體會(huì)到教學(xué)語言的優(yōu)越性。數(shù)學(xué)的作用不僅表現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題，同時(shí)也是人們進(jìn)行交流，表達(dá)自己對(duì)某些問題認(rèn)識(shí)的工具。應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)的過程中給學(xué)生交流的機(jī)會(huì)，提供具體的情境讓學(xué)生去表達(dá)、傾聽，提出自己的想法。通過交流使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)更加流暢。

總之，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，既要注重它內(nèi)部的發(fā)展規(guī)律，又要關(guān)注它對(duì)社會(huì)具有的服務(wù)功能。這樣才能使數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)形成有序、有為的循環(huán)，才能使數(shù)學(xué)具有強(qiáng)大的生命力，推動(dòng)人類社會(huì)向更高文明前進(jìn)。