有感課本一道習(xí)題的處理

【情景背景描述】

在八年級(jí)上冊(cè)課本的等腰三角形一章中有這樣一道習(xí)題：

已知：如上圖，點(diǎn)E是∠AOB平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB于C，ED⊥OA于D。求證：（1）∠ECD =∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是線段CD的垂直平分線。

情景一：在復(fù)習(xí)全等三角形，但還沒(méi)有學(xué)習(xí)角平分線時(shí)候。

甲同學(xué)的方法：首先證明△ODE≌△OCE，得到OD=OC，再證明△EDF≌△ECF，得到∠ECD =∠EDC和OE是線段CD的垂直平分線。

同學(xué)乙的方法：首先證明△ODE≌OCE，得到OD=OC，再證明△ODF≌△OCF，先得OE是線段CD的垂直平分線，利用等角的余角相等得到∠ECD =∠EDC。

以上兩中方法看似大同小異，多是通過(guò)兩次全等證明線段和角所在的三角形全等，但方法卻聯(lián)系了前面的知識(shí)點(diǎn)解決了問(wèn)題。這時(shí)我就借題發(fā)揮：圖形中一共有幾組全等三角形？你覺(jué)得這道題復(fù)雜嗎？

同學(xué)丙：一共三對(duì)。

同學(xué)丁：又是垂直又是平分的，很復(fù)雜……

師：好的方法馬上就會(huì)有的，好好學(xué)習(xí)，我們后面有好戲！

【評(píng)析】通過(guò)對(duì)一題兩解的對(duì)比，激發(fā)了學(xué)生求知的欲望，集中了學(xué)生的注意力，并激發(fā)了學(xué)生的探究意識(shí)，為下面的問(wèn)題引出作了成功的鋪墊。

情景二：學(xué)習(xí)完了角平分線后。

同學(xué)甲的方法：首先證明△ODE≌OCE，得到OD=OC，利用角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，再通過(guò)證明△EDF≌△ECF，得到∠ECD =∠EDC和OE是線段CD的垂直平分線。

師問(wèn)：你們除了這個(gè)還有其他不同的方法嗎？

同學(xué)乙的方法：首先利用角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，其次利用“等角的余角相等”得到∠OEC=∠OED，又用角平分線的性質(zhì)得到OC=OD，再通過(guò)證明△EDF≌△ECF，得到∠ECD =∠EDC和OE是線段CD的垂直平分線。

師問(wèn)：你們覺(jué)得哪個(gè)方法簡(jiǎn)單一些呢？

同學(xué)：乙只用了一次全等，他簡(jiǎn)單一些。

【評(píng)析】比較兩種方法，我們不難發(fā)現(xiàn)同學(xué)們不都拘泥全等一種方法了，能夠把角平分線的性質(zhì)用了起來(lái)。但乙同學(xué)能夠從不同角度觀察到了角平分線的模型，很多復(fù)雜的幾何題都是由一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型構(gòu)成的，這樣開(kāi)闊了學(xué)生的眼界，發(fā)散了思維！

情景三：學(xué)習(xí)完線段的垂直平分線后。

同學(xué)甲：利用了角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，就得到OE是線段CD的垂直平分線。

師：甲同學(xué)平時(shí)上課很認(rèn)真聽(tīng)講，能夠現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，但請(qǐng)同學(xué)們一起幫他想一下，ED=EC就能一下子得到OE是線段CD的垂直平分線嗎？

同學(xué)乙：不能，ED=EC只能得到點(diǎn)E在CD的垂直平分線上，而不是OE！

師：很好，只有一個(gè)點(diǎn)是不行的，那需要幾個(gè)點(diǎn)呢？

同學(xué)丙：兩個(gè)點(diǎn)

師：為什么呢？

同學(xué)丁：兩點(diǎn)確定一條直線！

師：很好！那怎樣才有兩個(gè)點(diǎn)呢？

同學(xué)戊的方法：兩次利用角平分線的性質(zhì)得到OC=OD，EC=ED，得到O，E都在垂直平分線上，從而得到OE是線段CD的垂直平分線。

同學(xué)們：這個(gè)方法太好了！

【評(píng)析】通過(guò)多角度的探索，不但能養(yǎng)成學(xué)生良好的思維習(xí)慣，充分發(fā)揮學(xué)生思維的能動(dòng)性，培養(yǎng)其思維的廣闊性和創(chuàng)造性還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而能提高一個(gè)人的整體素質(zhì)。

情景四：學(xué)完了等腰三角形后。

同學(xué)甲：利用角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，從而得到∠ECD =∠EDC，但接下去證明垂直平分就利用線段垂直平分線性質(zhì)！

師：這個(gè)方法是比較簡(jiǎn)潔，再請(qǐng)同學(xué)們想一下，垂直平分線在什么圖形中還有呢？

同學(xué)乙：等腰三角形的三線合一中有。

師：那你們能用三線合一來(lái)解決嗎？

同學(xué)丙：首先利用“等角的余角相等”得到∠OEC=∠OED，其次利用角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，從而利用三線合一得到OE是線段CD的垂直平分線。

師：很好，這個(gè)圖形中還有其他的等腰三角形嗎？

同學(xué)丁：還有△OCD可以利用角平分線的性質(zhì)證明得到！

……

【評(píng)析】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多法，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散思維能力，拓寬思路，是綜合運(yùn)用各種知識(shí)能力的有效途徑。

綜上所述，一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程。教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。責(zé)任編輯楊博