卡門常數的研究現狀及進展

摘 要:挾沙水流卡門常數是描述含沙水流流速分布的重要參數，目前水流流速分布規律主要分為兩種模式:變k模式和Coleman模式。本文根據國內外現有資料歸納總結了卡門常數的研究現狀，并指出需進一步研究的問題。

關鍵詞:卡門常數;流速分布;挾沙水流

中圖分類號:TV142 文獻標志碼:B文章編號:16717953(2009)04008504

Research Actuality and Advances in Karman Constant

LIU Chao ZHAO Hongxu SHAN Yuqi2

(1.College of Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power， Sichuan University， Chengdu 610065，China;2.College of Mathematical Sciences， Sichuan University， Chengdu 610065，China)

Abstract: Karman constant is the important parameters to describe the velocity distribution of sediment-laden flow .The distribution of water flow is mainly divided into two modes:varying k mode and Coleman mode. The paper based on many achievements at home and abroad is summarized Karman constant research and discussed the issues to need the further study.

Key words: karman constant;velocity distribution;sediment-laden flow

1 問題的提出

卡門常數是Von Karman假設混合長和速度廓線的關系所引入的經驗系數。在各種水流情況下的測量值表明，其數值基本在0.36-0.41之間，到現在為止大多數學者認為卡門常數不能從理論上推導獲得而需實驗確定。

卡門常數是水動力學、泥沙運動學和流體力學中的一個重要參數，可以很好的描述含沙水流的流速分布特性。含沙水流是一種復雜的兩相流運動，泥沙在水流的影響下運動，反過來又影響水流的運動，懸浮的泥沙顆粒會使含沙水流的流速分布有別于清水。目前挾沙水流的流速分布規律主要有兩種模式:(1)變k模式:Einstein和錢寧、Barton和林秉南等人的研究都發現^[1-2]，挾沙水流流速分布在挾沙水流主流區符合對數變化律，但卡門常數會隨理查遜數或泥沙濃度的增大而減小，我們將這種模式稱為變k模式。變k模式以主流區的斜率作為衡量標準，其研究關鍵在于找尋卡門常數的變化規律情況，現有的成果有比較一致的結論，在低含沙量時隨含沙量的增加，流速梯度增大，卡門常數減小。(2)Coleman模式:Coleman通過挾沙水流水槽試驗重新分析Einstein和錢寧等的資料后認為^[3]，卡門常數在近底區與泥沙濃度無關，即與清水中的k值基本一致。他認為挾沙水流流速分布在主流區不符合普朗特對數分布規律，所以主流區的流速分布要改變并認為這是由于該區域內存在一個尾流區。我們將這種模式稱為Coleman模式。Coleman模式以近底區的斜率作為衡量標準并得到了與“變k模式”相反的結論:挾沙水流流速分布的近底區符合對數率，且卡門常數與泥沙濃度無關，但在主流區卻偏離對數率。

為了清楚的研究挾沙水流的流速分布問題，前人學者在定床方面研究卡門系數較多，動床較少^[4-5]。現有的大多數研究成果都是在定床、均勻粗糙度等情況下，用清水或低含沙水流來進行。這些成果雖有一定理論價值，但無法實現水流結構的自由發展。一方面水流運動與床沙相互制約互相發展，是床沙級配、推移質運動規律、懸移質運動規律、輸沙平衡以及能量耗散等因素綜合作用的結果;另一方面卡門常數與垂線的含沙量有關，推導所得的這些函數計算式不利于實際計算運用。

2 卡門系數常數的研究現狀

卡門常數的研究目前在世界上還有爭議，這也就造成了兩種模式描述挾沙水流流速分布時的分歧，但它們彼此并不矛盾。由于在動床上卡門常數的變化規律的復雜性，國內外對此方面的研究都十分少見，因此有待進一步深入研究。作者根據國內外現有資料歸納了挾沙水流中卡門常數的研究現狀。

2.1 國外的研究現狀

Rouse^[6]從理論上用卡門常數來表達了泥沙懸浮功指標，但解決實際問題時發現，在高含沙水流中不能準確的表達。Keulegan^[7]運用相同思路發現明渠清水中，水流卡門常數k=0.4。20世紀50年代后隨著泥沙科學理論研究的發展Einstein和錢寧在變坡水槽內，對清水和各種粒徑泥沙進行垂向流速實驗，發現在挾沙水流中主流區流速分布仍然符合對數率，但卡門常數卻不一定為0.4，卡門常數隨含沙量的增加而減小，并提出了現在通常用來描述挾沙水流的變k模式。Barton和林秉南^[2]雖對卡門常數作出研究，但并未給出明確的計算公式，不利于實際運用。Bagnold^[8]認為近底區的紊動切應力和顆粒的碰撞切應力共同作用致使近底區和主流區的流速分布不同，這也可看作是近底區偏離對數率的另一種說法。Coles^[9]研究并提出了通過增加尾流項來正確描述挾沙水流中水沙條件變化的流速分布公式，但并未能引起人們的足夠重視。而后Sayre和Albertson^[10]在明渠水槽中布設糙度隔離帶進行試驗，發現卡門常數變化巨大，大致在0.34-2.7之間浮動，平均計算值為0.38這一常數。Nordin和Dempster^[11]研究美國里約格朗德河實測資料發現同樣問題，在高速水流挾沙段內，沙坡消失時卡門常數大約在0.165-0.345之間，小于0.4，過渡區斷內，沙坡衰減并即將消失，卡門常數分布在0.215-0.373之間，在低速挾沙段內，沙坡發育良好，卡門常數在0.314-1.20之間，變化幅度非常大，同時改變了人們之前認為卡門常數變化不大的思想。隨后Ippen^[12]在Einstein和錢寧及Coles的研究基礎上提出了同時考慮卡門常數及尾流項的混合模式，但公式比較復雜不適合實際運用。直到Coleman在1981年提出卡門常數k與泥沙含量無關，并與清水一致保持在0.4，同時還指出之前的卡門常數隨泥沙濃度改變的觀點不正確時，他的這一理論才引起了學者們的重視，也重新開始思考并研究挾沙水流中卡門常數的變化規律。隨后Samaga^[13]等采用分段描述法說明了近底區和主流區卡門常數的變化規律，但兩種模式在交界處并不連續。在底部流速梯度基本與清水一致，卡門常數k=0.4，這也與前述Coleman的觀點一致。

2.2 國內的研究現狀

國外學者在卡門常數的研究領域開始較早并且獲得了一些有價值的理論成果，為后來研究人員更深入研究卡門常數奠定了基礎。我國科學人員雖在挾沙水流方面有一定研究，但在卡門常數的研究上卻起步較晚，為了清楚認識其變化規律，先后也進行了一些試驗進行探究。而后隨著泥沙學科和測量儀器的迅速發展，我國學者也加大了對卡門常數的研究并提出一些新的見解。

張玉清^[14]等在解決雷諾方程組的封閉及應用問題的基礎上，根據橫向擴散與水力參數的定量關系，用天然河流的橫向擴散系數理論公式對卡門常數的理論計算進行推導，發現理論計算結果與前人的實驗成果基本一致k=0.36。但此推導過程所得結論只能描述在均勻流的情況下的卡門常數，具有一定的局限性。喻國良^[15]等假設懸移質濃度分布公式正確的前提下，討論了卡門常數的計算誤差對懸移質垂線濃度分布的影響。分別探求了Rouse公式、Lane和Kalinske公式、Zagustin公式和Emmett和Laursen公式計算卡門常數的穩定性，并就影響最小、穩定性最好及精度最高的公式進行了探討。舒安平^[16]等通過分析天然挾沙水流試驗高、低含沙水流流速分布特點，引入相對粘度，點繪卡門常數和相對粘度關系曲線，數值擬合得到高、低含沙紊流的卡門常數的統一表達式，后用45組粉煤灰水草實驗實測資料驗證卡門常數統一表達式發現符合良好，但數值模擬計算式并不能達到很高的精度。周宜林^[17]等考慮了泥沙對水流的影響并建立卡門常數計算公式，但公式沒有體現出泥沙濃度對卡門常數的影響。隨后周宜林^[18] 等又對卡門常數的影響因素進行研究，通過量綱分析提出卡門常數計算式，用實測資料驗證時發現計算式可較好的描述動力粘滯系數、泥沙沉降和粒徑對卡門常數的影響。黃才安^[19]等引入顆粒切應力從理論上建立同時適用主流區和近底區的統一流速分布公式。可較好描述卡門常數垂線漸變規律(由近底區kb=0.4漸變到主流區k<0.4)，但公式基于經驗假設在近底區參考點上考慮不夠全面。秦榮^[20-21]等研究了動床下低含沙水流卡門常數的變化規律，動床流速分布在主流區仍服從對數分布，但卡門常數k≠0.4;而主流區垂線分布上平均卡門常數仍然是一常數。張洪武^[22]等假設含沙濃度是渦團參數的主要影響因素，提出以紊流渦團模式為基礎的卡門常數與含沙量關系式。王尚毅^[23]等提出有效懸浮功和水流能量對卡門常數的影響并建立卡門常數計算式。倪晉仁^[24]等收集分析前人實測資料發現，雖前人在挾沙水流流速分布上存在爭議，但他們的研究資料的變化趨勢基本相似。朱長軍^[25]等發現卡門常數在河槽中心區域的值比邊壁區域小，其值隨含沙量增加而減小，這與變k模式的觀點相一致。

3 結語

目前，前人的研究成果很多，也可看出卡門常數在挾沙水流中絕不是一個常數。從他們的研究方式上來看，大致可分為這幾類原理:一.為根據水流能量及懸浮功的變化對卡門常數進行表述;二.根據能量平衡的理論;三.影響卡門常數的含沙濃度、粒徑和相對粘滯系數;四.通過量綱分析獲得影響卡門常數的因素。通過對這幾類原理的研究可知，許多學者的公式或關系式是對各方的實測資料進行分析后而提出的經驗公式，沒有對各種因素進行全面考慮，不能適應各種水流情況，也無法全面的描述挾沙水流中卡門常數的定量變化。有些計算公式形式過于復雜，有些其中具有繁瑣的參數，都不能很好的運用到實際中進行計算。因此，這也為今后的研究提出了更高的要求，在有更好的試驗條件和測量儀器時，提出精度更高應用范圍更廣的卡門常數計算式。

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