“淺探二次函數中的三角形問題”教學實錄及教學反思

王清明

教學內容：初三中考 “函數”復習課。

教學目標：

1.知識與技能目標：⑴會根據二次函數提供的信息，較快求出解析式、頂點坐標與坐標軸的交點坐標；⑵掌握在二次函數圖象中求出特殊三角形面積的方法；⑶能根據圖象中提供的信息正確地“讀解”圖象中更多的有效信息；⑷利用二次函數圖象中的三角形相似，或直線平移求出符合條件的直線與拋物線的交點坐標。

2.過程與方法目標：⑴通過對二次函數圖象的分析探討，體會到圖象中幾個特殊點的坐標在解決三角形問題中的重要性；⑵通過對二次函數圖象中三角形問題的探討，體會到數形結合的數學思想在解決函數問題中的重要性和優越性。

3.情感態度和價值觀目標：⑴通過對二次函數中三角形問題的探討學習，滲透數形結合的教學思想，構建“數想形”“形思數”的數學思維方式和意識；⑵通過對具體數學問題的解法的探究，讓學生學會學習，學會合作，從而形成團隊合作的精神。

教學重點：根據二次函數的圖象或解析式求出特殊三角形的面積；或利用三角形相似、全等，或通過平移等知識求出符合條件的直線與函數圖象的點的坐標。

教學難點：在二次函數圖象中，利用三角形相似或通過直線的平移，求出符合條件的直線與拋物線的公共點的坐標。

教學過程：

一、 創設情境，導入課題

師：同學們，請觀察圖1，你認為在這個圖象中，哪幾個點較為特殊？

生1：點A、點B、點C、點O、點D。

師：為什么這些點較特殊呢？

生1：這些點分別是坐標原點、二次函數圖象的頂點、以及圖象與坐標軸的交點。

師：將這些點作為三角形的頂點，可構成哪些三角形？

生2：可構成△ABC、△BCD、△ABD、△AOD、△BOD……（見圖2）

師：我們知道，三角形是最基本的幾何圖形，三角形問題也是最常見的數學問題，今天，我們就來探討二次函數中的三角形問題（多媒體出示課題）。

二、 問題精析，初步引探

師：首先，我想就剛才出示的這個二次函數的圖象提幾個問題，不知同學們有沒有信心來解決？

（學生齊聲回答：有！）。

師：請根據圖象中所提供的信息，說出A、B、C、D四點的坐標。

生2：這四點的坐標分別是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。

師：很不錯！完全正確。那現在請同學們求出△ABC的面積，并說出你是怎么進行計算的。

生3：△ABC的面積為：1/2?AB?CE =125/8。

師：答得非常好！

師：如果將問題改成求△BCD的面積，可以怎么進行求解？

（學生思考）。

師：（良久沒有學生回答）同學們可否由求△ABC的面積有所啟示？

生：……

生4：可將CD延長，與X軸交于G，然后用△GCB的面積減去△GDB的面積，就可得到△BCD的面積。

生5：我還有一種方法，設二次函數圖象的對稱軸與BD相交于F，分別求出△DFC與△BFC的面積，它們之和就是△BCD的面積。

生6：還可將BC延長，使之與Y軸交于點M，然后用△BDM的面積減去△DCM的面積即可。

（教師根據學生的講述在圖象上添加了相應的字母。見圖3）

師：太棒了，能談談你這樣設想的原因嗎？

生6：構造新的三角形，使其中一邊落在坐標軸上，這樣便于求出三角形的底邊和高，進而求出三角形的面積。

師：李于同學真棒，我相信很多同學都和他一樣，找到了在坐標系中求三角形面積的捷徑。

師：同學們，學習數學就要這樣，要能積極思考，善于發現問題中題設與結論之間的聯系；在變化中發現規律。比如，這個問題到這里可以進行變式：就利用這個二次函數的圖象（此函數的解析式已求得為ｙ＝ｘ-3x²-4），在圖象上是否存在點Ｐ，使△ABP的面積為15，如若存在，求出點Ｐ的坐標；如不存在，則說明理由。

（教師將學生推向探究問題的邊緣）

（學生或自主探索，或交流討論……不久便有部分學生舉手）

生7：根據題意，已知ΔABP的面積為15，底邊AB=6，則邊上的高為6，而這個值實際上就是點Ｐ的縱坐標，再將它代入此二次函數的解析式中即可求出點Ｐ的坐標。

（老師微笑地點了點頭，沒有發表意見）

生8：我認為底邊上的高等于6，但這個值只是點到底邊的距離，也就是說，點P的縱坐標可以為±6。

師：你們認為他的分析是否有道理？

（不一會，很多同學對剛才這位同學的分析表示贊成，并有部分學生通過計算求出了P點的坐標。）

師：周明同學考慮得很全面，請同學們仔細觀察點Ｐ可能存在的幾個位置。

（教師利用幾何畫板制成的動畫演示點P的運動軌跡，△ABP的形狀也隨之發生變化。見圖4）

師：請同學們根據剛才的分析嘗試求出符合條件的點P坐標。

……

（教師利用多媒體展示了幾位學生完成的計算，并進行點評。）

三、問題變式 深入導探

師：剛才，我們研究的的問題實際上是二次函數中常見的三角形問題。大家對于二次函數圖象中的特殊三角形面積的計算有了初步認識，現在老師想就剛才的問題和大家進行更加深入的探討，同學們是否有興趣？

（多媒體出示問題——二次函數y=ax²+bx+c的圖象如圖5所示：1.求此函數的解析式；2.過點A作AP∥BD，交此拋物線于點P，求出點P的坐標。）

……

學生紛紛進行探索，尋求解決問題的方案，或獨立思考，或相互交流。

生9：這個函數圖象與坐標軸的交點坐標都可直接看出來，分別為：A（-1，0）、B（4，0）、D（0，-4），和前面的問題一樣，可求得解析式也為ｙ＝x²-3ｘ-4。

師：不錯，此問題的第一問可用待定系數法求得，也為ｙ＝x²-3ｘ-4，那點P的坐標有沒有求出？

生：還沒有。

師：請大家注意第二問中提供給我們的已知條件：AP∥BD，再結合前面我們已探討過的問題，會有什么啟示？

（學生進入思考狀態，并開始了短時間的討論）

（過了幾分鐘，部分同學似乎有了解決的方法，教師請同學發表看法。）

生10：由AP∥BD可得到∠DBA=∠BAP，設AP與y軸交于點M，又有∠AMO=∠BDO，可得到△BOD∽△AOM。（圖6）

生11：因為點B和點D的坐標分別為（4，0）和（0，-4），所以BO=DO=4，又△BOD∽△AOM，所以AO=MO=1，這樣就可以求出直線AP的解析式。

（老師讓這些同學分別發表自己的看法，用贊賞的眼光看著他們，微笑著點點頭，期待其他同學能有更多的更具體的解決問題的方案。）

生12：點P是直線AP與拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4的交點，那么通過求出直線AP的解析式與ｙ＝x²-3ｘ-4組成的方程組的解便可得出點P的坐標。

師：不錯，劉強同學能結合前面同學的想法，并聯系前面學習過的知識，這種方法能較快地求出點P的坐標。還有沒有不同方法？

（學生又進入短時間的探討、交流）

生13：我認為，不需要證明△BOD∽△AOM，因為AP∥BD，所以直線AP可由直線BD平移得到，只要求出直線BD的解析式和MD的長度，能較容易求出直線AP的解析式。

師：很好，這種方法很新穎。

又有一位同學舉手，并直接站了起來：“我還有一種方法。”教師示意他講出他的方法。

生14：可以過點P向X軸作垂線，與x軸交于點N，（教師按學生所講作出垂線。見圖6）則有PN=AN ……

師：（教師示意這名學生停一下）你能說說為什么會有PN=AN？

生14：我也是由剛才這種方法聯想到的，因為PN∥MO，會有△AOM∽△ANP，由OA=OM=1，所以有AN=PN，又PN是點P的縱坐標，ON是點P的橫坐標，則PN=ON+1，設點P的坐標為（x,y），有y=x+1，又點P在拋物線ｙ＝x²-3ｘ-4上，利用這兩個關系式可求出點P坐標。

教師帶頭鼓掌，這位同學很高興地坐了下去。

……

師：根據剛才這些同學的分析，請大家選用適當的方法，嘗試求出點P的坐標。

四、延伸拓展 導練提高

師：接下來，我想讓大家沖刺一下往年的中考壓軸題,看看今天所學的知識能否用得上。同學們有沒有信心?

生:有……

(多媒體出示由2005年長沙市中考壓軸題改編的試題）已知：拋物線y=1/3x²-2/3x-1與X軸交于A、B兩點,A(x₁,0)、B(x₂,0)，且x₁﹤x₂，與Y軸交于點C（圖7）。

1.若⊙M為△ABC的外接圓，則△MBC是

三角形；

A.等邊三角形 B.等腰直角三角形

2.由⑴可求得⊙M的半徑為 ；

3.過點A作直線AP平行于BC，與拋物線交于點P，可得點P的坐標為，以A、B、P為頂點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由。

學生嘗試解答……

最后,師生合作探討,完成解答……

五：學習導結，認識提升

師：通過以上探究活動，你認為這節課有哪些收獲？有什么體會？對今后的學習有什么幫助？

教師針對學生的發言進行點評并適當鼓勵。歸納總結。

六、作業

根據最后一個問題，自行改編，提出一個新問題，并解答出來。

教學反思

“二次函數”和“三角形”都是初中數學的重要知識，將兩者結合在一起進行探討，則是學生學習數學知識的一個質的提升。將多個知識點融合在一起，讓學生從中發現問題、提出問題、解決問題，這是對學生數學創新能力的培養，也成了中考綜合解答題的出題方向。本節課，我對教學內容進行了創造性增補和整理，也意在培養學生這方面的能力。下面就這節課的某些特點作如下評析：

創設平臺，誘導學生自主探究與合作交流

《數學課程標準》中明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”因此，在本節課中，我對教材進行創造性安排，創設了一組變式題，為學生創造了充分的數學活動機會和平臺，但這些“果實”并不是讓學生垂手而得，而是需要思考，需積極參與，在自主探索與合作交流中，去理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法。本節課的每個環節都體現了互動性特點，給學生自由學習的時間和空間，從而使學生形成對數學知識的理解和有效的學習策略，也培養了學生良好的數學學習習慣。

精選例題，變式深入，注重數學方法的歸納

在本節課的教學中，由一個簡單問題入手，通過一步步的變式，層層深入， 讓學生經歷了知識的歸納、綜合、發展的過程，讓學生體會觀察、猜想、驗證的思想和數形結合的思想。讓學生快速地“讀解”函數圖象中的有效信息，更好地理解函數解析式與其圖象之間的內在聯系，掌握在函數圖象中如何求解三角形的面積，利用平移的方法求函數解析式以及運用三角形相似等方法求得特殊點的坐標，以發展學生應用數學的意識與能力，增強學生學好數學的愿望和信心。到問題變式的最后，引出了經過改編的往屆中考題，讓學生再一次體會到：其實“難題”也是由一些簡單知識點積淀而成,并不是那么高不可攀。這對學生良好的數學思維品質的形成有著重要的促進作用，對學生的終身發展也有積極影響。

充分發揮多媒體的輔助功能，激發學習興趣和創造性思維

為突出重點、突破難點，使學生真正達到本節課設定的教學目標，在例題變式探究過程中，我巧妙運用多媒體進行動畫演示，讓學生從幾何畫板的動畫演示中，體會知識的產生、發展變化的過程，為學生創設了提出問題、解決問題的探究情境。誘導學生進行自主探索、大膽猜測、合作交流等數學活動，鼓勵他們發表自己的見解，同時，為學生探究、發現其中的數學規律營造了良好的氛圍，并激發他們的創新思維。

依托變式，啟迪思維

數學教學應該注重培養學生自主學習的意識和習慣，注重學生的個體差異，靈活運用多種教學策略，引導學生在實踐中學會學習，讓學生在探求中運用已發現的規律試一試，讓學生在問題探討中各抒已見、開展討論，對學生中出現的一些有創見的解法及時加以肯定，整個過程，讓學生充當“演員”，這樣的過程，是思想自由的過程。本節課中，我通過一系列的變式題組的設計，給學生創造了學習數學、解決數學問題的“階梯”，為學生創設了一個動眼、動手、動腦的空間和交流探討的平臺。讓他們始終以探索者、研究者的身份出現，學生通過自己的感知學習、感受學習，最終達到感悟學習的目的，數學學習的能力得以質的提升，使數學課堂教學更具價值。

（責任編輯：黃佑生）