運用結構思想研究初等幾何例說

朱燕華

摘要：現代數學論認為：數學的學習絕對不是單純的接受課本知識，更重要的是培養和發展自身的能力與思維。實踐表明：在數學學習過程中，穿以數學知識為載體的數學思想方法，不僅有助于領悟數學思想，實現數學觀念的轉化，更能夠使自身在獲得數學知識的同時經歷一個由內而外的“建構”過程。

關鍵詞：結構思想；建構；要素分析

眾所周知，幾何證明是初等數學學習的難點之一，其難就難在如何尋找證明思路，追根究底還是因為幾何證明題的本質不易把握。為此，在初等幾何的學習中融入數學思想方法，具有重要意義，而且切實可行。通過平時的學習、探索和積累，我發現其中的“結構思想”，即認為“數學是一個有機的整體，觀察數學問題要著眼于結構的整體性。從宏觀上對數學問題進行整體研究，抓住問題的框架結構和本質關系，把一些貌似獨立而實質又緊密聯系的特征視為系統中的整體”，對探尋幾何的證明思路，把握問題的本質，培養觀察能力有一定的指導意義，為此本文試圖用結構思想對初等幾何中的難點幾何證明問題進行研究，以期提高整體意識，把握問題本質，培養應變能力。

初等幾何的研究對象，就是最常見的規則圖形——直線形、圓、相似形、柱、錐、臺、球等，我們常常研究它們的度量性質和基本位置關系，而幾何圖形的度量性質和基本位置關系又必須借助于幾何證明來實現，可以說，對幾何證明的認識和理解，將直接影響到初等幾何的學習。

一般說來，人們對證明的理解僅僅局限于定義——運用那些已經認為是正確的判斷，邏輯推理，證實表達某個判斷的真實性。基于這種觀點，往往造成對證明的必要性和證明的意義認識不透，只是被動地進行求證訓練，只知其然而不知其所以然，這勢必影響了對幾何證明的真正理解。日本學者杉山吉茂通過對歷史的回顧，并比較古希臘和古代中國對論證方法的異同，主張證明應該還有另一層的含義，即是“分析要素”。結合杉山吉茂教授的觀點和通常情況下對證明的理解，證明的意義應該包括兩個方面的內容：一是“檢驗某判斷的真實性”；二是要進行“要素分析”。針對“要素分析”，杉山吉茂教授作出了具體的解釋，他認為證明的要素有兩種：一種是證明所需要的圖形要素（條件）；另一種是公理、定義、定理這類要素。實際上，著眼于證明的要素來認識證明的意義就是結構思想的反映。

倘若我們從“分析要素”這一結構思想出發，著眼于使一個命題成立的要素上來觀察，那么，我們不僅可以作出和這個命題有關的若干命題，更可以得出更具一般性的結論，達到“抓住問題的框架結構和本質關系”的目的，并學會在此基礎上去思考并發現新的問題，從而獲得新知識，也就是進行發展性學習，為了具體闡明結構思想及所期待的目的，下面引例說明。

例如：已知弦AB和CD相交于⊙O內一點P（圖1），則線段PA、PB、PC、PD有何關系？

圖1

分析：連結AC、DB，△APC∽△DPB，可得PA·PB=PC·PD。

在通常的求證思路下，只需完成上述分析就不難了，但若從結構思想這一觀點出發，就需進行“要素分析”。在證明的過程中，使用到的圖形構成要素為：邊PA、PB、PC、PD，點P，邊AB和CD是沒有用到的構成要素。對于角來說，只要是包含著相等的角的圖形就可以。這個例子采用的要素是圖形的構成要素，但作為要素，除了圖形的構成要素外，還有三角形相似條件等也是要素。

因此，我們對這些要素作任意的改變，將不會影響到證明的結果。由此，所給圖形就不一定要求如圖1，點P可以在圓外，甚至A、B兩點可以重合，C、D兩點可以重合。

變式一：若AB、CD的交點P在⊙O外（圖2A），上述結論成立嗎？

分析：顯然成立。連結AC、DB，由△PAC∽△PDB可得PA·PB=PC·PD。

或者：連結AD、BC（圖2B），由△PAD∽△PCB可得PA·PB=PC·PD。

圖2A

圖2B

從一個有意義的但又不太復雜的問題出發，去探尋和發掘問題的潛在規律，使得通過這道題，把思維引入一個完整的理論領域——這便是結構思想的另一種表現形式。實際上，許多例題、習題的背后往往都隱藏著潛在規律。若是善于觀察，深入探求問題的各個方面，將有助于理解數學知識是如何彼此相關，從而構成一個協調的整體。我們可以用下面的例題解釋這一事實。

變式二：對圖2，令PA繞P點旋轉，使它和圖相切（圖3），上述結論有何變化？

圖3

分析：此時A點與B點重合，即PB=PA，可猜想上述結論變為PA2=PC·PD。

變式三：對圖3，再令割線PC繞點P旋轉，直到和圓相切，此時結論又如何呢？（圖4）

圖4

分析：此時C點與D點重合，即PC=PD。

所以上述結論將變為PA2=PC2。即PA=PC。（負值舍去。）

由于圖1、圖2、圖3、圖4本質相同，所以綜合上面探究：可以發現什么共同的規律呢?

首先，在“圓”和“AB、CD的交點P”兩個不變的信息的制約下，PA、PB、PC、PD均在⊙O內部；其次在圓內可得到四條積相等的線段。由此我們可以得到規律：過圓內任一點，作兩條相交弦，被該點所分得的四條線段的積相等。

進一步探究：規律中“形內”這一條件能不能打破呢？觀察圖2，點P在形外，AB、CD的交點P，為此通過觀察圖形特征以及已知規律，猜想：過圓外任意一點作兩條直線，與圓相交，實際上：這一結論仍成立，仍然有PA·PB=PC·PD。

在上述變化中，圍繞“圓”和“點P”兩個不變信息，利用運動的思想對圖進行了深入探究，探究出本題所潛在的規律，把思維引入一個完整的理論領域。對一個數學問題，如果只滿足于表面的解答，那么就會顯得單調，收獲甚少，因此對數學問題的分析不能只注重表面現象，而應透過現象洞察問題的本質特征。例如本題，教師通過“一題多變”，起到了對“相交弦定理”、“切線定理”、“割線定理”、“切線長定理”歸類探究的作用。

初等幾何中含有大量的證明題，都適應進行結構思想方法的訓練，毫無疑問，這種訓練必將有助于培養和提高數學思維能力。

參考文獻：

[1] 張艷艷.論數學思想與思維方法教學的創新.滄州師范專科學校學報，2001，（1）.

[2] 趙振威，常士藻.中學數學教材教法.上海：華東師范大學出版社，1994.

[3] 杉山吉茂.基于公理方法的中小學數學學習指導.東京：東洋館出版社，1986.