“數學規定”教學亦要“再創造”

吳存明

眾所周知，有些數學知識是約定俗成的，蘇教版課標教材五年級下冊《用“數對”確定位置》的教學內容即如此。這一課，主要是將學生已有的用類似“第幾排第幾個”的方式描述位置的經驗加以提升，用抽象的“數對”來表示位置。很多教師在教這樣的內容時，只是簡單地告訴學生，確定位置就要遵守“第幾列第幾行”這一規定，教學也能順利進行。

可是筆者在六年級畢業班上對學生進行的口頭調查中，發現了問題。

問1：你還記得五年級學習用“數對”確定位置時，第一個數表示“列”還是“行”？

許多學生抓耳撓腮，模棱兩可。

問2：為什么第一個數表示“列”，第二個數表示“行”？

生：因為第一個數表示第幾列，所以第二個數表示第幾行……

生：因為數學家就是這樣規定的。

表面上看，學生也能接受“數學規定”。但時間長了，學生便會習慣了接受，容易產生這樣的想法：老師告訴我們這樣，我們就這樣去記。顯然，從調動學生思維及促進學生可持續發展的角度來看，這樣的教學是遠遠不夠的。

那么，有更好的教學策略嗎？我在實踐中進行了嘗試。

【教例】

一、新授環節：學習“數對”確定位置

教師出示本班級學生座位表（如下圖）

師：我們班數學課代表坐在哪里？

生1：坐在第二排左起第5個。

生2：坐在第二排右起第4個。

（學生已經會用自然數表示位置，這是舊知識，也是本課教學的基礎。）

教師介紹“行”和“列”，確定第幾列一般從左往右數，確定第幾行一般從前往后數。

師：下面我們來做個比比誰“眼疾手快”的游戲。大家在3秒之內將屏幕所出現的一些同學的位置，用自己喜歡的方式記錄下來。

（由于教師說是游戲，學生參與熱情很高，每個同學都全神貫注地觀察并記錄。）

教師檢查完成得最快的三位學生的記錄。

生3：李雨秋（第3列 第4行）

虞 悅（第5列 第4行）

劉 健（3列 4行）

……

師：為什么這位同學都把“第”字給去掉了？

生：這樣記錄更快！

生4： 李雨秋（第3列 第4行）

虞 悅（5 4）

劉 健（6 3）

……

生5： 李雨秋（第4行第3列）

虞 悅（45）

劉 健（36）

……

師：這兩位同學的記錄就更簡單了，把“行”與“列”也去掉了。大家覺得這樣好不好？

學生意見不統一。

師追問：好，好在哪？不好，又不好在哪？

生6：我認為好，這樣記錄速度快。

生7：不好，因為不容易分清。比如劉健一會是（63），一會是（36），別人就搞不清了。

（學生形成了一個認知沖突，統一的“數學規定”呼之欲出，教師及時引導。）

師反問：是呀，光看（63）你能一下子明白嗎？還需要改進。怎么改進？

生：先寫‘列，再寫‘行。

揭示：（指圖中劉健的位置）劉健坐在第6列第3行，在數學上可以用“數對”表示為（6，3）。

明確：“數對”中的第一個數表示第幾列，第二個數表示第幾行；兩個數之間要用逗號隔開，兩個數的外面要用小括號括起來。

追問：現在會不會混淆了？

生：不會！

……

二、練習環節：應用“數對”確定位置

師：同學們的表現都非常出色，我要重點表揚一位同學，他一直積極思考，大膽表達自己的觀點，他所在的位置用“數對”表示是（3，2），你知道他是誰？

生1：他是××。

師：判斷正確嗎？（生齊答：正確）

師：接下來，請大家來夸夸自己的同學。

出示：我要夸的同學在第（）列第（）行，用“數對”表示為（），因為他（她） ……

生2：我要夸的同學在第8列第2行，用“數對”表示為（8，2），因為她學習很棒。

……

（真誠的表揚和欣賞讓課堂溫馨浪漫。）

師：我還要夸一夸聽課最認真的同學，他的位置用“數對”表示為（4，Y），他是誰？

（課堂上鴉雀無聲，學生沒反應）

師：他可能是誰？請這位同學站起來讓大家向你學習。

（第4列的同學陸陸續續全站起來了）

生3：第4列的同學都有可能在老師的夸獎之內。

（教師留給學生知識、心理上的暫時性“空白”，不斷增大問題的不確定性，給了學生好奇心的刺激和智慧的挑戰。）

師：我很想夸夸坐得最端正的同學，他的位置用“數對”表示為（x，1）。他可能是誰呢？

（第1行的同學自豪地站起來）

師：大家同意嗎？為什么？

生4：因為第1行的同學都有可能被夸到。

師：我最喜歡的同學，用“數對”表示是（x，Y），請起立！

（全班同學都興奮地站起來）

師：是呀，對每個同學，老師都一樣喜歡，一樣欣賞。

【反思】

數學教育家弗賴登塔爾認為，學生學習數學是一個有指導的“再創造”的過程。數學學習本身是學生的“再創造”。雖然，學生要學的數學知識都是前人已經發現或發明而規定的，但對學生來說，仍是全新的、未知的、模糊的知識，需要再現類似的創造過程來形成。數學知識的學習并不是簡單的接受，而必須以“再創造”的方式進行。從這個角度去想，很多數學規定從產生到被普遍認可都有一個曲折而漫長的過程，怎樣規定更合理都有其內在的原因，并不是輕描淡寫的一句“數學家們這么規定”就能解釋的。因此，在數學學習的過程中，應給學生提供具有充分“再創造”的通道。反思上述案例，為什么能取得較好的效果呢？

1.自覺優化，讓學生體會規定的必然性

小學數學規定的教學一般要經過規定的引入、規定的建立、規定的鞏固與運用三個階段。規定的引入與數學概念的教學一樣，也可以創設情境，讓學生在有利于學習的課堂氛圍中主動參與數學規則的建構過程。當學生有可能理解某一規定產生的背后原因時，不妨給學生創造條件，讓學生更好地認識和理解這樣的規定，體會規定的合理性與必然性。上面案例的教學創設了一個讓學生嘗試記錄班級同學的座位的情境，通過對不同記錄方法的比較，產生認知沖突，誘發學生對確定位置這一問題的深入思考，進而理解遵守“第幾列第幾行”這一規定的合理性。學生不僅知其然，更知其所以然。

2. 比較反思，讓學生經歷規定的再創造

用“數對”確定位置其實就是以直角坐標系的思想對平面內一點位置的描述，而笛卡爾直角坐標系的創建，是數學史的一次飛躍，它在代數和幾何上架起了一座橋梁。同時，不同方式描述平面內一點的位置，直至用數對來描述的過程，其實也是一個符號化的過程。數學史中，符號化的過程大致經歷了“文辭階段、縮寫階段、符號階段”三個時期，每個階段相對前一階段都是一次飛躍，在數學史上有著重大意義。這些，我想引領著學生在這節課中去經歷，去感悟。通過教師兩次敘述的對比，不斷追問“為什么你們后面都把‘第字給去掉了？”“好，好在哪？不好，又不好在哪？”“用‘數對（6，3）這樣表示會不會混淆了？”學生充分地感受到符號化的價值，統一的數學規定呼之欲出、自然有效。

3. 逐步抽象，讓學生提升對規定的理解

“數對”作為一種符號刻畫了物體和所在位置的對應關系，學生在學習新知時已有所領悟，在練習中，教師繼續深化，拓展學生的認識。從具體“數對”（3，2）、（8，2）等到半抽象“數對”（4，Y）、（X，1），再到抽象“數對”（X，Y），讓學生根據數對確定同學的位置，數學思維含量逐漸加大，水到渠成地建構了數學模型——有序“數對”（X，Y），讓學生在更高的層面上把握數對的本質。

（作者單位：南京市溧水縣實驗小學）

責任編輯 李 淳