關(guān)于復(fù)變函數(shù)中對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的一個標注

摘要本文對復(fù)變函數(shù)中對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作一個新的注釋。

關(guān)鍵詞解析函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 幅角

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

對數(shù)函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)的主要研究對象解析函數(shù)的一種初等函數(shù)，在解析函數(shù)中占有非常重要的地位，對于對數(shù)函數(shù)的研究應(yīng)準確。本文對對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)作一些標注。

1 對數(shù)函數(shù)的定義及計算

定義 稱滿足方程的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，記作:.

計算公式 .

稱 為對數(shù)函數(shù)的主值，則，一旦值取定，則稱為對數(shù)函數(shù)的一個分支。

例1 計算.

解:由對數(shù)函數(shù)的計算公式得:

例2 計算.

解:由對數(shù)函數(shù)的計算公式得:

例3 計算.

解:由對數(shù)函數(shù)的計算公式得:

注:復(fù)變函數(shù)中對數(shù)函數(shù)與實函數(shù)中對數(shù)函數(shù)的區(qū)別。在實函數(shù)中負數(shù)不存在對數(shù)，在復(fù)變函數(shù)中卻存在;在實函數(shù)中正數(shù)的對數(shù)只有唯一的值，在復(fù)變函數(shù)中卻有無窮多值。

2 對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)及注釋

2.1對數(shù)函數(shù)的解析性

由于對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，所以在整個復(fù)平面內(nèi)處處不解析。但對數(shù)函數(shù)的各個分支在除原點和負實軸以外的復(fù)平面內(nèi)處處解析，且具有相同的導(dǎo)數(shù):.

2.2對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

即1n[arg]=1narg1narg

(其中). (1)

() (2)

標注1 等式的理解與復(fù)數(shù)乘積的幅角等式的理解一樣，應(yīng)理解為兩端可能取的函數(shù)值的全體是相同的。即在等式左邊取出一個數(shù)值(相當于取定一個值)，等式右邊也可以相應(yīng)的分別找出與的值，使得右邊的和數(shù)等于左邊的值;反之，也對。

例如 =即1n1n1n

亦即(3)

這里，

代入(3)式得.

要使上式成立，必須且只需，只要與各取一確定的值，總可以選取的值使，反之一樣。若取，則取;若取，則可取或。

標注2 在(1)式中應(yīng)要求.因為等式Lnnlnz不再成立。

例如取。

Lni=Ln(-1)=1n1+i

而2Lni=21n1+2ii，它們兩個是不相等的。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高教出版社，1988.

[2] 西安交通大學高等數(shù)學教研室.工程數(shù)學—復(fù)變函數(shù)[M].北京:高教出版社，1996.