把握來自學生數學課堂的“錯誤”信息

摘 要： 數學課堂是一個動態、隨機生成的過程，學生在課堂中經常出現錯誤是一種正常的學習現象，它伴隨著學生一起成長。教師要善待學生的“錯誤”， 把握好學生的每一個“錯誤”信息，讓錯誤變成寶貴的課堂教學資源。在課堂教學中，教師要注意錯誤的蘊伏，預設多姿的課堂；要及時捕捉錯誤，生成精彩的課堂；還要學會反思錯誤，共同成長。

關鍵詞： 數學教學 錯誤 認識和把握

《數學課程標準》指出：“在數學教學活動中，‘錯誤’往往是教師‘教’和學生‘學’中，反映在各方面，出現違反教學結論或數學方法的現象。”初中生在學習數學的過程中，由于年齡特征，以及學習方法的不完善，思維能力的限制，會出現各種不同的錯誤，這是一種正常的學習現象。心理學家蓋耶認為：誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。我們要善待學生的“錯誤”，把握好學生的每一個“錯誤”信息，準確分析學生常見錯誤的原因，努力挖掘“錯誤”的潛在資源，使“錯誤”增值，讓“錯誤”變成寶貴的教學資源。那么，如何認識和把握教學過程中反映出來的錯誤呢？

一、課前蘊伏錯誤，預設多姿的課堂

學生對新知理解常常會發生一些常見的、易犯的錯誤，盡管教師反復講解，多次強調，總有些學生不能徹底改正、往往一錯再錯。教師應通過認真鉆研教材，根據學生發生錯誤的規律，憑借教學經驗，預測學生學習某知識時可能發生哪些錯誤。在課堂教學中運用形形色色的“錯誤”信息，讓學生在思索、討論中展現多姿多彩的課堂。

1.顯示錯誤，防患未然。

在數學教學活動中，學生是活動的主體，而學生犯錯的過程就是一種嘗試和創新的過程。在課堂教學過程中，教師應經常呈現一些學生可能會發生的錯誤，引導學生從自己的認識角度，憑借自己已有的數學知識找錯、知錯和改錯，讓學生產生強烈的糾錯欲望，讓學生在“嘗試錯誤”的過程中比較、判斷、思考，甚至引發爭議。

如教學《一元一次方程的解法（二）》時，課前教師分析學生可能會發生的計算錯誤，預先準備如下題目：

下面方程的解法對嗎？若不對，請改正。

在課堂上，讓學生先思考，相互交流，提出質疑，使學生領悟到解方程時需注意和避免一些易犯的錯誤，如去分母時不含分母的項易漏乘各分母的最小公倍數，去括號時括號前是“-”號時易犯符號錯誤和漏乘，移項時要“變號”。系數化為1時易分子分母顛倒。通過辨析，預先控制一元一次方程可能發生的計算錯誤，防患于未然，在議錯、辨錯中逐步提高學生分析和解決問題的能力。

2.誘導錯誤，引發深思。

音樂界有這樣一個故事，世界著名指揮家小澤征爾參加一次世界性的比賽時，曾連續三次中斷了指揮，因為他認定樂譜中出現了“錯誤”，其實，這正是評委們故意設下的“陷阱”。事實上，正是對這個“陷阱”的大膽否定，驗證了小澤征爾作為音樂指揮家的真正實力。教師也應善于人為地恰當地設置一些這樣的“陷阱”，甚至誘導學生“犯錯”，讓學生認認真真地錯一回，再引導學生自我從錯誤的迷茫中走出來，讓學生在“摔打”中學會對數學問題作深入的思考，喚醒學生的質疑精神和探究欲望。

如在教學《勾股定理》時，預想學生可能受“勾三股四弦五”定勢影響，于是我準備了如下題目，“企圖”讓學生認認真真地“錯”一回：

已知三角形兩邊長為3，4，要使這個三角形為直角三角形，求第三邊的長。

果然，課堂中絕大多數的學生掉進了“陷阱”，誤解成：

這樣學生走進了教師預先所設的“陷阱”，又從“陷阱”里走了出來，繼續去尋找新的答案，真是“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”。

3.故意錯誤，引起質疑。

居里夫人上小學時，一次教師給學生講：在一只裝滿水的杯子里放入一顆小石子水就會溢出來，但是放入一條金魚水卻不會溢出來。放學后，居里夫人覺得老師的結論值得懷疑，就親自動手實驗，結果滿杯的水溢了出來。教師的一次故意“出錯”培養了居里夫人善于質疑的優秀學習品質。其實，學生獲取數學知識的過程實際上就是不斷探究的過程，教師主動呈現錯誤，能讓學生的心中泛起漣漪，引起好奇心，課堂上教師有意“出錯”能有效地調節教學氣氛，讓平淡無奇的課堂變得更具誘惑力。

如在教學《數軸》時，預想學生可能沒有真正理解數軸的“三要素”，因此我設計了這樣的練習環節：讓三位學生上黑板分別畫一數軸，自己也迅速地在黑板的一角畫出以下三圖，并跟學生說：“請比較三位同學所畫的數軸和老師的‘標準’數軸，三位同學的數軸錯在哪里？”

學生議論紛紛。一位學生說：“老師，你畫的圖都是錯的。”另一學生說：“老師，你所畫的和你所說的自相矛盾。”我不失時機地問：“你們說老師畫錯了，老師感到很不服氣，為什么錯了，請說明理由？”

學生又議論紛紛，尋找老師錯誤的原因。

對于數軸的畫法中學生可能會犯的錯誤，我沒有回避，也沒有遮掩，而是故意自己暴露錯誤，并留給學生足夠的時間讓學生充分質疑甚至發生爭論，進而引發探究，體驗糾正教師錯誤的成功感。教學不是告訴，而是要通過創設各種活動激發學生認識未知世界的興趣，在興趣的支配下，學生通過探究能獲得更多鮮活的知識。教師故意出錯，能把學生引入矛盾的困惑境地，使他們對自己的認知產生懷疑、自主反思，從錯誤中吸取教訓，從失敗中找出原因，從而讓學生在糾正錯誤中開啟智慧，邁入知識的殿堂。

二、課中捕捉錯誤，生成精彩的課堂

葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中指出：“學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源。”課堂教學是一個動態的、變化發展的過程，在師生、生生交流互動的過程中，隨時會有許多意想不到的錯誤發生。教師要獨具慧眼，及時捕捉稍縱即逝的錯誤并巧妙運用于教學活動中，鍛煉自己駕馭課堂的能力，促進教學機智的生成，同時也使錯誤成為學生學習新知的生成點。

1.善待“錯誤”，提升思維。

著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”。在課堂教學中，學生對知識的理解會出現各種各樣的錯誤，有的教師在學生出現錯誤時，采取“馬上制止”或“立即糾正”的方法，這樣做不僅不能達到防止錯誤的目的，而且忽視了錯誤的價值。《課標》指出：數學課程的內容應該是現實的、有意義的、富有挑戰性的。教師要從學生的視角看待這些錯誤，讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，不輕易否定學生的答案，以學生的真實錯誤為教學內容，讓學生通過“嘗試錯誤”的活動，把解決問題的主動權還給學生，引導他們比較、思辨。

在教學《中位數和眾數》時，課堂上有這樣的題目：如圖，是根據媒體提供繪制的“寧波各大報刊發行量統計圖”，那么發行量的眾數是（）。

A.寧波晚報 B.寧波日報和東南商報

C.33萬 D.22萬

大多數學生選A、B或C，我沒有急于糾錯，而是引導學生重新理解“眾數”的概念，觀察圖形，讓各選項的學生分別說明理由，學生在說的過程中認識到自己“錯”在哪里，從而學會了以批判的眼光思考問題，而不為表象所影響。可見，學習是從問題開始的，甚至是從錯誤開始的，就是在這發自內在“糾錯”欲望的驅使下的探究活動，提高了學生分析問題解決問題的能力，提升了學生的思維。

2.“將錯就錯”，因勢利導。

《課標》指出：“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上獲得不同的發展。”數學教學應最大限度地滿足每一個學生的需要，最大限度地開啟每一個學生的智慧潛能。在真實的課堂教學中，學生不可能不出現錯誤，教師要考慮如何利用好這些“錯誤”，化弊為利，也可以經常針對學生的錯誤進行“將錯就錯”的訓練。“化錯為正”，引導學生從正、反不同角度修改錯誤，不僅能使不同層次的學生發現錯誤，提高學習的積極性，而且可以揚長補短，拓寬學生的思維，訓練學生思維的靈活性和創造性。

在我提出勾股數的時候，學生馬上舉出例子：3，4，5，當我說出6，8時，學生也很快地報出了第三個數10，于是我想寫出9，12，再由學生說出15，最后叫學生尋找規律。可是當我剛寫出9的時候，馬上有一個學生就說出12，15，我很高興，想不到學生這么快就找出規律了，不過為了讓大部分的學生參與思考，我還是讓學生先思考了一下，再由剛才那位學生說出他發現的規律，結果這位學生的說法是：4-3=1，5-4也等于1，而8-6=2，10-8也等于2，所以寫出第一個數是9的時候，那么9+3=12，所以第二個數就是12，第三個數應該是12+3=15。其他學生表示贊同，我很吃驚，因為我當時沒有意識到這其中還有這種規律，為了緩和一下思緒，我又出了一個數12，結果學生很快說出了16和20。我思考了一下，3，4，5這個勾股數的倍數確實有這個規律，于是我就將錯就錯：5，12，第三個數會不會是19。學生一檢驗，發現不對，于是我問學生：“怎樣的勾股數會有我們剛才發現的規律？”學生得出：“我們剛才的4組數分別是3，4，5的倍數。”我追問：“你們能否用數學語言概括？”學生說：“3n，4n，5n，n為正整數。”我補充：“這位同學概括得很好，同理，5n，12n，13n也具有這樣的特點，但是剛才得出的規律只有3n，4n，5n這些數，所以它只有特殊性，沒有一般性，而要一組的勾股數與它的倍數都是勾股數，這個規律是具有一般性的。”

這樣的“將錯就錯”，舉一反三，既豐富了知識，又拓展了思路，學生求異思維能力得到了提高。在數學教學過程中，教師如果從學生出現的錯誤做法出發，進行引導點撥，不僅能引出正確的想法，而且可以“將錯就錯”，拓寬學生思維，使我們的教學環節更加精彩，教學過程更加真實。

三、課后反思錯誤，共同成長的課堂

1.學生反思，完善認知結構。

弗賴登塔爾說過：“反思是數學的重要活動，是數學活動的核心和動力。”學生的錯誤不可能單獨依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須有一個“自我否定”的過程，而“自我否定”又以自我反思作前提。在實際教學中，教師應幫助學生樹立糾錯追因意識，把學生的錯誤當作寶貴的教學資源，引導學生反思錯題錯在哪里？為什么錯？如何有針對性地糾錯？可以要求每位學生都準備一本“糾錯檔案袋”，每個人在做數學習題時，都會出現這樣那樣的錯誤，把一些典型的錯誤記錄在“糾錯檔案袋”里，并反思和指明錯誤原因。教師定期從學生的“糾錯檔案袋”中選出有代表性的錯題，在課堂上進行剖析，讓學生自我分析和暴露錯誤解題思維。教師在學生常犯錯誤的關鍵之處經常適時地引導學生去反思、回顧，這樣不僅可以培養學生批判性的數學思維品質，而且可以完善學生的認知結構，形成系統。

2.教師反思，促進專業成長。

杜威曾說過：“失敗是有教導性的，真正懂得思考的人，從失敗和成功中學得一樣多！”課堂上，有些學生的錯誤是教師根本預料不到的。所以，當課堂上來不及處理的錯誤，教師需要在課后靜靜地反思，尤其是帶有普遍性的錯誤。大面積學生的錯誤在一定程度上折射出教師教學中的偏差。學生所表現出來的種種反應是教師課堂教學效果的一面鏡子，它提供了各種教學效果的反饋信息。教師要根據學生在課堂中學習新知和課外作業中所表現出來的錯誤，審視自己，進行反思，發現不足之處，采取及時有效的方法進行調整，修正自身的不足之處。為此，教師要及時對學生理解新知識過程中出現的典型錯誤，以及錯誤產生的原因，反饋矯正的對策進行搜集、整理、記錄。同時，教師通過寫教后小記等形式獲得反饋信息，進而在以后的教學過程中不斷優化反饋策略。反思是為了更好地解決教學中的失誤尋找存在的問題，發現留下的遺憾，是教師自我教育、成長的最佳途徑。從而追求教學水平的提升、完善，最終形成自己獨特的教學風格。

3.文本反思，課外拓展延伸。

《數學課程標準》中明確指出：“通過數學學習，應使學生在提出問題、分析問題、解決問題，以及交流和反思等方面獲得發展。”反思是對所得出的結論的進一步鍛煉和升華，是創造學習的一個重要組成部分。在學生反思、教師反思中難免還會留下一些遺憾，教師可以在文本中尋找一些錯題，作為課后拓展延伸題，通過對錯題進行找錯、議錯、糾錯，使學生反思產生錯誤的原因，知道改正的方法。這樣可以進一步深化學生對所學知識建立的表象，以達到對知識的理解、掌握及應用，實現從感性知識到理性知識的升化。文本中也會出錯，教師在鼓勵學生多看文本的同時，還要鼓勵學生提出不同看法，懷疑書本結論，鼓勵學生不拘泥于現成的知識，勇于“異想天開”，大膽發表自己的見解，將錯誤轉化為促進學習、促進探究的課程資源。這能為學生在日后的學習中不怕犯錯、敢于質疑問難、敢于挑戰權威、開展富有創造性的學習探究活動打下良好的情感基礎。

當然，教師要注意不能“矯枉過正”，不能把學生所有的錯誤都當作資源，也不可能解決每個學生可能出現的錯誤，要不斷提高自己捕捉和正確解讀錯誤的能力，對學生的錯誤及時給予有力回應。正如沃爾夫因·布列欽卡所說：“教育是人們嘗試在任何方面提升他人人格的行動。”只有這樣，錯誤才能成為數學課堂的一個亮點，為數學教學添上一道亮麗的風景線。

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