直線與圓的位置關系

摘要： 本文作者借助例題、解析及變題，試圖使學生從“形”和“數”兩個角度進行分析，充分利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系研究直線和圓的位置關系。

關鍵詞： 《解析幾何》 直線和圓的位置關系 研究

引言

在江蘇省數學高考的八個C級要求的知識點中，《解析幾何》這一章節就有兩個，分別是直線和圓，在此我們一起來研究直線和圓的位置關系。

一、高考要求

（一）能根據給定直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系。

（二）能解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題。

二、課前預習

（一）知識梳理

1.直線與圓的位置關系判斷方法

（1）幾何方法（d-r法）

直線l：Ax+By+C=0，圓C：（x-x ） +（y-y ） =r （r＞0）。

圓心C（x ，y ）到直線Ax+By+C=0的距離為d= 。

則：①相離?圳d＞r，②相切?圳d=r，③相交?圳d＜r。

（2）代數方法（△法）

直線l：Ax+By+C=0，圓C：x +y +Dx+Ey+F=0。

由Ax+By+C=0x +y +Dx+Ey+F=0消元，得到的一元二次方程的判別式為△，①相離?圳Δ＜0，②相切?圳Δ=0，③相交?圳Δ＞0。

2.圓的切線方程

（1）已知切線斜率k圓的切線有兩條。

（2）已知切線上一點，①點在圓上：有一條切線，②點在圓外：有兩條切線。

3.圓的弦長

設弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有l=2 。（數形結合）

（二）熱身訓練

1.過P（4，0）的直線l與圓x +y ＝8有兩個不同的交點，則直線l斜率k取值范圍-1＜k＜1。

變題：過P（4，0）的直線l與曲線y= 有兩個不同的交點，則直線l的傾斜角α的范圍α=0或 π＜α＜π。

2.已知直線5x-12y+a=0與圓x -2x+y =0相切，則切線方程為5x-12y+8=0或5x-12y-18=0。

3.已知圓（x-1） +（y-2） =4，則過點P（-1，5）的圓的切線方程x+1=0或5x+12y-55=0。

4.直線2x+y+3=0截圓x +y -6x-2y-15-0所得的弦長2 。

5.已知圓C的圓心與點P（-2，1）關于直線y=x+1對稱，直線3x+4y-11=0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=6，則圓C的方程x +（y+1） =18。（08天津卷）

三、課時學案

（一）例題精講

例1.若圓x +y -4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l∶x+y+b=0的距離為2 ，則b的取值范圍-6≤b≤-2。

解析：由圓心（2，2），半徑3 ，則圓心到直線l的距離d≤ ，即 ≤ ，解之得-6≤b≤-2。

變題1：若圓x +y -4x-4y-10=0上有兩個不同點到直線l∶x+y+b=0的距離為2 ，則b的取值范圍-14＜b＜-6或-2＜b＜6。

解析：圓心到直線l的距離 ＜d＜5 ，

即 ＜ ＜5 ，解之得-14＜b＜-6或-2＜b＜6。

變題2：若圓x +y -4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l∶y=kx的距離為2 ，則直線l的斜率的取值范圍2- ≤k≤2+ 。（06湖南卷）

解析：圓心到直線l的距離d≤ ，即 ≤ ，解之得2- ≤k≤2+ 。

例2.過點（ ，0）的直線l與圓x +y =4交于A、B兩點，當△AOB面積最大時，求直線l的方程。

解析1：（1）若直線l斜率不存在，則x= 。由x +y =4x= ，解得A（ ，1）、B（ ，-1），所以S = ×2× = 。

（２）若直線l斜率存在，設直線的方程為y=k（x- ），則圓心到直線l的距離d= ，|AB|=2 =2 ，所以S = d|AB|=

= ≤ =2。

當且僅當 =4- ，解之得k=± ，則直線l的方程為 ±y- =0。

解析2：設圓心到直線l的距離為d，且d∈（0， ），則|AB|=2 =2 ，所以S = d|AB|=d = ≤ =2。當且僅當d =4-d ，解之得d= ∈（0， ］。設直線l的方程為y=k（x- ），由d= = ，解之得k=± ，則直線l的方程為 x±y- 。

解析3：設∠AOB=θ∈［ ，π），S = |OA||OB|sin∠AOB=2sinθ。當θ= 時，S =2sin =2，此時d= ∈（0， ］。設直線l的方程為y=k（x- ），由d= = ，解之得k=± ，則直線l的方程為 x±y- 。

變題：過點（1，0）的直線l與圓x +y =4交于A、B兩點，當△AOB面積最大時，求直線l的方程。

解析：設圓心（0，0）到直線l的距離為d，且d∈（0，1］，則|AB|=2 -2 ，所以S = d|AB|=d = = 。由d∈（0，1］，當d=1時，（S ） = ，直線l的方程為x=1。

例3.已知平面區域x≥0y≥0x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓及其內部所覆蓋。（Ⅰ）試求圓的方程。（Ⅱ）若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點A，B，滿足CA⊥CB，求直線l的方程。

解析：（1）由題意知此平面區域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形，覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是 ，則圓C的方程是（x-2） +（y-1） =5。

（2）設直線l的方程是：y=x+b，因為 ⊥ ，所以圓心到直線l的距離是 ，即 = ，解之得b=-1± ，則直線l的方程是：y=x-1± 。

變題：已知平面區域y≥0x+y-2≥0x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓及其內部所覆蓋，試求圓的方程。

解析：由題意知此平面區域表示的是以M（2，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，且△MPQ是鈍角三角形，覆蓋它的且面積最小的圓是以其最大邊PQ為直徑的圓，圓心是（2，1），半徑是 ，則圓C的方程是（x-2） +（y-1） =5。

四、小結

1.要注意數形結合，形數結合。

2.充分利用圓的性質，圓與直線相切，①圓心到切線的距離=半徑，②圓心與切點的連線垂直切線；圓與直線相交設弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有l=2 。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”