由兩道組合題型想到的

在教學組合內容時，時常遇到用插空法解題及涉及重復元素的組合數問題，現舉例看兩道題。

題目1：把n個相同的小球分給m(m≤n)個人，每人至少1個，有多少種不同的方法？

題目2：把n個相同的小球放入m個有編號的小盒，每盒容量不限，有多少種不同的放法？

解決題目1，涉及插空法；

解決題目2，涉及一個定理。

定理1：在集A={a ，a ，a ，……，a }中，每次取r個元素有重復的組合為：H=C，證明詳見周萬詳編著的初等數學研究書《排列組合與數列》。

現在我們就來談談用插空法解決的組合題型及可轉化為有重復元素的組合數的題型。

一、用插空法解題

1.人排隊時不相鄰問題

例：13個人排成一排，其中A、B、C兩兩不相鄰，問有幾種不同排法？

分析：

（1）可先將A、B、C以外的10人排成一排，即A；

（2）10個人有11個空（含兩端），A、B、C去插這11個空，每人1空，即C；

（3）再將A、B、C進行全排列即A，所以排法數為ACA=AA。

小結：n個人排成一排，其中m人(m≤ )兩兩不相鄰，則有：AAA=A種不同的排法。

分析：先將余下的n-m人進行全排列，從n-m+1個空中選出m個，這m人每人站一個空，再將m人進行全排列。

2.座位不相鄰問題

例：10個相鄰的座位，甲、乙每人坐1個位子且不相鄰，問有幾種不同坐法?

分析：

方法一：直接法

（1）當甲選了兩邊之一時，有C種選法，乙有C種選法；（2）當甲未選兩邊時，有C種選法，乙有C種選法，所以所求的坐法有CC+CC=72種。

方法二：間接法

總數-甲乙相鄰=甲乙不相鄰

總數為：CA=A；甲乙相鄰為：CA（因為兩個座位相鄰的情況數有9種，故為C；而甲乙講順次，故為A）；所以所求的分法數為：A-CA＝72種。

3.分物時每人至少１份問題

例：把10個相同的小球分給4個人，每人至少1個，有多少種不同的分法？

分析：10個球有11個空，除兩端外有9個空，在9個空中插入3人，每人插一個空，將小球分成4份，每人一份，所以不同的分法有C=C種。

如：

１１＊１１１１＊１１１＊１

甲乙丙丁

甲有2個，乙有4個，丙有3個，丁有1個。

小結：把n份相同的物品分給m(m≤n)人，每人至少1份則有C種不同的分法。

二、涉及允許重復選取元素的組合

例：3個人6種不同的卡片，每種均有多張，每人限選1張，有幾種選法？

方法一：有3個人和6種卡片，這3個人可以選同一種，也可以選2種，還可以選3種，由此可知，這個問題的實質就是在6種不同的卡片里任意選3張，但這3張卡片可以重復，屬于可以重復選取的重復組合問題，由定理1可知所求選法有H=C=C=56種。

方法二：因為這3張卡片可以是同一種，2種，3種，分為3類：①選1種，即C＝6。②選2種，即C，假如選到A、B張，但可能會A張1人，B張2人；也可能會A張2人，B張1人，故有2種情況，所以為2C＝30。③選3種，即C＝20。

所以總的選法有C+2C+C=6＋30＋20＝56種。

小結：n個人選m種不同的東西，每種有多件，每人限選一件，則有H=C種不同選法。

例：將5個相同的小球放入7個有編號的小盒，每盒容量不限，有多少種方法？

分析：有5個小球和7個小盒，這5個小球可以選同一個盒子，也可以選2個，3個，4個或者5個盒子，由此可知，這個問題的實質就是在7個不同的小盒里任取5個，但這5個可以重復，屬于可以重復選取的重復組合問題，由定理1可知所求方法為H=C=C種。

小結：將n樣相同的東西，放在m樣不同的容量里，每個容器數量不限，則有H=C種放法。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”