例談ｖ－ｔ圖像的妙用

筆者曾遇到過這樣一道物理題：一個做勻變速直線運動的物體，第2s內的位移是5m，則前3s內的位移可能是：（ ）。

A.大于15m B.小于15m C.等于15m D.無法確定

初看此題，用勻變速直線運動的平均公式處理比較簡單：由==v可知，第2s內位移是5m，則第2s內平均速度是5m/s，即在t=1.5s這一時刻的瞬時速度，進一步推論，在前3s內中間時刻的瞬時速度是5m/s，因此得出前3s內平均速度是5m/s，故前3s內的位移是15m。

此種方法無論勻加速還是勻減速，只要前3s內物體一直運動著即可成立。但如果物體做勻減速直線運動，在第3s內已停止，那么位移是否小于15m呢？這種情況如直接用公式很難得出結論，但借助于圖像卻較為容易而且直觀。現筆者談一下具體方法：

v-t圖像不僅能反映勻變速直線運動的規律，而且可變相求得位移，即所謂的“面積”。因而就本題可以畫出包括下列五種情況的勻變速直線運動：（1）v=0的勻加速直線運動；（2）v≠0的勻加速直線運動；（3）至第3s末恰停止運動的勻減速直線運動；（4）勻減速直線運動至3s末仍未停止；（5）勻減速直線運動未至3s末即停止。

由圖像直接可以看出：（1）（2）（3）（4）四種情況下，物體運動的位移一定是15m。

情況（5）較為復雜，我們借助（3）中所畫畫兩條輔助線，如圖所示，由數學知識可得，所圍面積多了△vv′p的面積，則可知當在第3s內已停止運動時，前3s內的位移大于15m。

可見，巧用v-t圖像，不僅可以使一些運動學問題的求解簡單明了，而且可以解決一些運用公式法無能為力的問題。

運用v-t圖像解題，首先要搞清圖像的意義，圖像代表速度隨時間的變化規律，圖像上某點的斜率代表對應時刻的加速度的大小，圖像與坐標軸圍成的圖形的面積代表位移的大小，兩圖像的交點僅表示這時刻兩物體的速度相同。

一、比較物體的運動時間

例1：如圖１所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，兩球由靜止從頂端滑下，若球在如圖所示的斜面上的轉折處無能量損失，則兩球誰先滑至底端？

解答：由于兩斜面光滑，高度相等，因此，兩球滑至底端時的速度大小相等，B球在斜面上C點之前的加速度大于A球的加速度，在C點之后的加速度小于A球加速度。又因為兩斜面長度相等，即兩球下滑的路程相等，故兩圖像下的面積相等。這樣，作出兩小球的速度圖像如圖1′所示，由圖像可以看出：t

二、比較物體的速度

例2：一個物體做勻變速直線運動，在一段時間內通過一段位移。若在這一段時間的中間時刻的速度為v，在經過這段位移的中點時的速度為v，則v和v大小關系如何？

解答：勻變速直線運動分勻加速和勻減速兩種情況，現分別討論如下：若物體做勻加速運動，可作出o-t時刻的速度圖像，如圖2（a）所示，這段時間的中間時刻t/2的速度為v，將梯形otvv分成面積相等的兩部分，則分割線對應時刻t′在t/2之后，對應速度v大于v。同理可知，物體做勻減速運動時，亦有v大于v。

三、比較物體的加速度

例3：如圖3所示，質量相同的木塊A、B用輕彈簧連接，置于光滑水平面上，彈簧處于自然長度，現在用水平恒力F推木塊A，則在彈簧第一次被壓縮至最短的過程中，當A、B速度相同時，誰的加速度較大？

解答：在彈簧壓縮過程中，A做加速度減小的加速運動，B做加速度增大的加速運動，可定性作出它們的速度圖像如圖3′中的A、B所示。它們的交點為C，此時兩物體速度相同，而可以看出B在該處切線的斜率大于A的斜率，即此時A的加速小于B的加速度。故速度相同時，A的加速度小于B加速度的速度。

四、計算功的多少

例4：在光滑的水平面上有一靜止的物體，現以水平恒力甲推這一物體，作用一段時間后，換成相反的水平恒力乙推這一物體。當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，物體恰好回到原出發點，此時物體的動能為32J。則整個過程中，恒力甲、乙做的功各是多少？

解答：物體在甲恒力作用下勻加速運動，在乙恒力作用下勻減速運動，設甲、乙兩恒力的作用時間各為t，甲力結束作用時物體的速度為v，回到出發點時物體的速度為v。由此，可定性作出物體在2t時間里的的速度圖像如圖4（a）所示。若設想，在乙恒力作用的同時，甲恒力反向作用在物體上，為使物體的運動與原先等效，應在乙恒力方向上再增加一個與甲恒力相同的力，則在2t時間里，由運動的合成知識，可作出物體運動的速度圖像如圖4（b）所示。依題意，圖像與t軸圍成的面積應為零。

由圖4（b）有：(v×2t)=(v×t)，則v=2v。又由題意有：E=mv=32J，由此得：mv=8J。由動能定理有：W=mv=8J，W=mv-mv=24J。

五、綜合運用

例5：一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊。設子彈對木塊的阻力恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是（）。

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小

C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短

解答：子彈以初速度v穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向均受恒力作用，子彈勻減速運動，木塊勻加速運動。因此，可定性作出穿透過程中木塊、子彈的v-t圖像如圖中實線A、B所示，圖中OA、vB分別為穿透過程中，木塊、子彈的速度圖像，圖中梯形OABv的面積為子彈相對木塊的位移，即木塊的長度。當子彈入射速度增大為v′時，穿透過程中二者的相對位移（梯形OA′B′v′的面積）仍是木塊長度，即梯形OA′B′v′的面積與梯形OABv的面積相等，所以木塊、子彈的速度圖像將如圖中的OA′、v′B′所示。顯然，由圖像可以看出，當子彈的速度變大時，木塊獲得的速度變小，即獲得的動能變小；子彈穿過木塊的時間變短。故本題正確選項應為B、D。

在處理問題的時候，學生往往認為計算比用圖像得到的結果更準確，事實上圖像法是一種重要的普遍應用于各個領域的科學研究方法，用圖像能更形象直觀、簡潔明了地處理問題，自覺地將數與形結合起來并用于分析問題，這更是需要培養的一種重要能力。