類比思想在數學教學中的滲透

摘 要： 本文主要闡述了類比思想在教學中的滲透。

關鍵詞： 數學教學 類比 類比思想

荷蘭著名數學教育家賴登塔爾強調：“學習數學唯一的方法是實行‘再創造’，也就是由學生本人把要學習的東西自己去發現或創造出來。”《數學課程標準》提倡在教師引導下，讓學生經歷“數學化”“再創造”的活動過程，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，培養他們的創新意識。蘇教版2—2中專辟類比推理這部分內容。類比是根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也相似或相同。其形式為A類事物有性質a，b，c，d，B類事物有性質a′，b′，c′，所以B類事物有性質d′。類比的結論是或然的，它的正確性需經過證明。在平時的數學教學中，筆者經常滲透類比思想，現歸納出以下常見的類比。

一、方法類比

典型的數學方法可以解決一類問題，因此，教師應隨時總結，舉一反三，以提高學生數學知識的遷移能力和靈活應用能力。

例1：設f（x）=，利用課本中推導等差數列的前n項和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值為 。

分析：本題類比課本中等差數列的求和方法，即“倒序相加法”。

解：令S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）①

則S=f（6）+f（5）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5）②

將①、②式相加，類似與等差數列的情形，利用f（n）+f（1-n）=，得2S=#8226;12，所以S=3為所求值。

二、性質類比

類比轉化，是一種培養知識遷移能力的重要學習方法，解題中，若能抓住題目中已知關鍵信息，鎖定相似性，巧妙進行類比轉換，答案就會應運而生。

例2：在等差數列{a}中，若a=0，則有等式a+a+…+a=a+a+…+a（a＜19，n∈N）成立，類比上述性質，在等比數列{b}中，b=1，則有等式成立。

分析：等差數列{a}中，a=0，必有a+a=a+a=…=a+a=2a=0，

∴a+a+…+a+a+…+a=0。

故有a+a+…+a+a+…+a=a+a+…+a類比等比數列{b}，

∵b=1

∴b#8226;b=b#8226;b=…=b#8226;b=b=1，

∴b#8226;b…b#8226;b…b=1，故等式bb…b=bb…bb…b成立。

三、結構類比

有些數學題目是由某些已知的公式發展變化而來，這些習題的形式與學過的公式結構相同，通過類比，可探求解題途徑的有效手段。

例3：已知：x+y+z=xyz求證：++=#8226;#8226;。

分析：由已知條件結構類比聯想到命題：若α+β+γ=kπ（k∈Z）則tanα+tanβ+tanγ=tanα#8226;tanβ#8226;tanγ，而求證中出現的形式類比聯想到二倍角公式。

證明：設x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，且α+β+γ=kπ（k∈Z），

++

=++

=tan2α+tan2β+tan2γ

∵α+β+γ=kπ（k∈Z）

∴2α+2β+2γ=2kπ（k∈Z）

∴tan2α+tan2β+tan2γ=tan2αtan2βtan2γ

即證：++=#8226;#8226;。

四、維度類比

盡管二維平面與思維空間有諸多不同，但我們充分利用它們相似性，通過升降維，即可解決相關問題。

例4：如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M，M與點N，N，則=#8226;。如圖2，若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR上分別存在點P，P，點Q，Q和點R，R，則類似的結論是什么？這個結論正確嗎？

分析：試題要求把二維面積關系推廣到三維體積關系。

類似的結論為：=#8226;#8226;。

證明：如圖2，過若R作RM⊥平面POQ于M，連接OM，過R在平面ORM作RM∥RM交OM于M，則RM⊥平面POQ。

由V=S#8226;RM=#8226;#8226;OP#8226;OQ#8226;sin∠POQ#8226;RM=OP#8226;OQ#8226;RM#8226;sin∠POQ，

同理，V=OP#8226;OQ#8226;RM#8226;sin∠POQ，

所以=，由平面幾何知識得=，

所以=#8226;#8226;結論正確。

本題把立體幾何問題類比到平面幾何中解決，正像數學家波利亞曾指出的：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的問題。”

總之，我們在平時的教學中滲透類比思想，不僅能使學生獲取新知識，而且能激發學生的學習數學的興趣，讓學生體驗數學的發現和創造過程，提高學生的數學思維能力。

參考文獻：

［1］普通高中數學課程標準（實驗）.人民教育出版社.第3頁.

［2］俞素珍.高考中的數學類比思想.中學數學月刊，2007.