極限思想的產生和發展

摘 要： 極限思想談的是數學中的思維問題，它的廣泛使用是由數學本身的發展所決定的。本文以數學發展史為基礎，從一些典型例子中尋找極限思想的產生與發展，主要是以歷史辯證唯物主義觀來重新分析、概述有關極限思想的問題。

關鍵詞： 極限思想 產生 發展 完善 思維功能

1.極限思想的產生

與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——歸謬法來完成有關的證明。

到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”。

2.極限思想的發展

極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中大量的問題用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。

起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量與時間的改變量之比表示運動物體的平均速度，讓無限趨近于零，對求極限得到物體的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎。他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等。”但牛頓的極限觀念是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當ｎ無限增大時，無限地接近于常數Ａ，那么就說以Ａ為極限。”人們容易接受這種描述性語言。現代一些初等的微積分讀物中還經常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎。

正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數學史上所說的“無窮小悖論”。英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是“分明的詭辯”。

貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由于當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎，不但是數學本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。

3.極限思想的完善

極限思想的完善與微積分的嚴格化密切聯系。在很長一段時間里，許多人嘗試解決微積分理論基礎的問題，但都未能如愿。這是因為數學的研究對象已從常量擴展到變量，而人們對變量數學特有的規律還不十分清楚，對變量數學和常量數學的區別和聯系還缺乏了解，對有限和無限的對立統一關系還不明確。人們使用習慣了的處理常量數學的傳統思想方法，就不能適應變量數學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉化的辯證關系。

到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，并且都對極限作出了各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量。”它接近于極限的正確定義。然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上的。

首先用極限概念給出導數正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函數ｆ（x）的導數定義為差商Δy／Δx的極限f′（x），并強調指出f′（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關于極限的本質他仍未說清楚。

到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論。他在《分析教程》中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別的，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小。”

柯西把無窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識。即在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零。

柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。

為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂f(x)＝Ａ，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數Ｎ，使得當ｎ＞Ｎ時，不等式｜f(x)－Ａ｜＜ε恒成立。”

這個定義借助不等式，通過ε和Ｎ之間的關系，定量地、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及的僅僅是數及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。

4.極限思想的思維功能

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從直線形認識曲線形，從不變認識變，從量變認識質變，從近似認識精確。

極限思想反映了近似與精確的對立統一關系，他們在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數學應用于實際計算的重要方法。數學分析中的“部分和”、“圓內接正多邊形面積”、“矩形的面積”、“平均速度”，分別是相應的“無窮級數和”、“圓面積”、“曲邊梯形的面積”、“瞬時速度”的近似值，取極限后就可得到相應的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來得到精確的。

5.用極限思想所建立的概念

極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終。利用極限的思想方法可得出連續函數、導數、定積分、廣義積分的斂散性、級數的斂散性、多元函數的偏導數、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。

參考文獻：

［１］李心渝主編.高等數學.北京理工大學出版社，2007.4.