巧用逐項比較法證明數列不等式

不等式的證明歷來是高中數學學習的難點，其變化很多，技巧性高，方法獨特，在各省高考試題中受到命題者的喜愛，也是各數學愛好者研究的方向。筆者通過對2008年陜西試題的研究，從而總結出證明一類數列不等式的證明方法。

（2008陜西：22）已知數列{a}首項a=，a=，n=1，2，…

（1）求{a}通項公式。

（2）證明：對任意x＞0，a≥-（-x），n=1，2，…

（3）證明：a+a+…+a＞。

在所給證明中（3）問一般要用到（2）問結論來證明，那么是否可以直接證明呢？左邊是一個數列{a}前n項和S，那么右邊也看作另一個數列{b}的前n項和T，若a＞b，則S＞T必成立。

現令T=，則b=T-T=（n≥2），n=1時b=也滿足，則b=（n∈N）

因為a=＞，a+a=＞T=，a=＞b=，所以下面用數歸法證明a=＞b=（n≥3）。

n=3時，已證得。設n=k（k≥3）時，有a＞b=成立，則n=k+1時，a=＞=。

下面用分析法證明≥2k≥4k≥2成立。

∴n≥3時，a＞b成立，又a+a＞b+b，∴S＞T成立，即原不等式成立。

利用此方法可解決很多數列不等式。

例1：（2009年成都一診：22）已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值。

（1）求實數a的值；

（2）若關于x的方程f（x）+2x=x+b在［，2］上恰有兩個不相等的實根，求實數b的取值范圍；

（3）證明：＞（n∈N，n≥2）。

解：（1）a=0；

（2）+ln2≤b＜2；

（3）∵k-f（k）=lnk，即證＞+++…+＞。

令S=（n≥2），S=0，則a=S-S=（n≥2）。

設m（x）=lnx-（x-1），則m′（x）=-==

-，

可得y=m（x）在［2，+∞）上是減函數，

∴m（x）≤m（2）=ln2-＜0lnx＜（x-1），

∴x≥2時，＞=，則k≥2時，＞==a，

∴+++…+＞a+a+a+…+a=得證。

例2：（2009年江西重點中學第一次聯考：22）數列{b}滿足b=1，b=2b+1，若數列{a}滿足a=1，a=b（++…+），（n≥2且n∈N）。

（1）求b，b，b，b；

（2）證明：=（n≥2且n∈N）；

（3）求證：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜。

解：（1）b=3，b=7，b=15，b=2-1；

（2）略；

（3）由（2）知（1+）（1+）（1+）…（1+）=#8226;#8226;…=#8226;#8226;…#8226;a=#8226;…#8226;a=#8226;#8226;a=2#8226;=2(+++…+)=2（1+++…+）

原不等式只需證++…+＜，

又=可看作c=#8226;（）（n≥2）的各項和，∴＞c+c+…+c，只需證#8226;（）≥2-1≥3#8226;22≥1（n≥2）成立，則原不等式成立。

分析：不等式右邊顯然無法看作一個數列的前n項和，但可作為一個無窮遞縮等比數列的各項和。

通過對以上例題的分析，我們不難發現把不等式的兩邊各看作數列的前n項和，通過對通項的逐個比較，即可得到整個不等式的證明，從而避開了不等式證明過程中的放縮和構造等技巧，使學生更容易掌握。