在變化中尋求發展

一、案例背景

平時學習中，許多學生認為，題目只要會做便可，“解題千萬道，解后拋九霄”，而對于一題多解、一題多變等題型變化，很是無所謂，結果陷入茫茫的題海中，難以提高解題能力、發展思維。那么在平時教學中如何培養學生的發散思維，提高學生的思維質量，培養學生面對難題時有良好從容的心態呢？

二、教學片段

四邊形的一堂復習課片段：

問題一：矩形ABCD中對角線AC與BD所成的∠AOD=60°，求證：AD+BC=AC。

學生很快就可以利用△AOD為等邊三角形得出結論。

問題二：等腰梯形ABCD中對角線AC與BD所成的∠AOD=60°，求證：AD+BC=AC。

學生也很快就利用等邊三角形性質得出結論。

追問：有無其它的方法。（根據等腰梯形常用輔助線平移對角線的方法，即過D作AC對角線的平行線交BC的延長線于點E，把AD，BC，AC移入同一三角形內，利用平行四邊形性質AD=CE，AC=DE，等邊三角形性質DE=BE，得出結論）思考片刻就有學生舉手做答。

反問：問題一中是否可以用這種方法。學生不假思索就回答可以。（這樣做是為了引導證題思路，為下一題作好鋪墊）然后拋出問題三：等腰梯形ABCD中對角線AC與BD所成的∠AOB=60°，則AB+DC與AC又有什么關系？（利用平移對角線的方法，不過這里作輔助線寫法要注意是過C作BD的平行線，使CE=BD，連接BE，利用平行四邊形性質CD=BE，由等邊三角形性質AE=AC得出AB+DC﹥AC）學生沉思了一段時間，然后有學生舉手。

問題四：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論。（歸納以上幾個問題證題思路得出AB+DC≥AC，當所夾兩邊平行時取等號）學生并沒有很快地解答此題，思考一段時間才作出解答AB+DC﹥AC，在教師的引導下得出了AB+DC≥AC，但對大于和等于兩個式子用AB+DC≥AC表示感到疑惑，通過教師的解釋引導才釋然。

問題五：改夾角為90°，它們之間又有什么關系？學生較快就解答。（有問題四作鋪墊，用相應的方法在加勾股定理即可得知結論AB+DC≥AC，當所夾兩邊平行時取等號）

三、教后反思

新課程理念指出：充分關注數學課程中的學習過程，體現“題不在多而在精，一題多變、一題多解、多題歸一”的教學思想，通過教學，在全面綜合運用數學知識的同時，進一步培養學生分析問題、解決問題的能力，并獲得成功的體驗。

1.通過“一題多解”激發學生的學習積極性，培養、提高學生的思維能力。“一題多解”的訓練是數學學習的重要方面，是培養學生求異思維的好方法，因此，教師要為學生提供一題多解的條件，教學時多問本題是否還有其他解法，提倡學生用多種方法解題，從而拓寬視野，整合知識結構，提高認知水平。教師通過典型習題的“一題多解”的教學，可使學生對知識能融會貫通，學會一定的解題技巧，提高解題能力。

2.通過“一題多變”激發學生的學習興趣，提高學生對知識的遷移能力。“一題多變”不僅能激發學生的學習興趣，提高學習的積極性與主動性，而且能使學生從一類問題的解法上達到舉一反三的目的，在探索過程中有效地提高他們的創新能力遷移能力。因此，教師要善于選擇適當的例題加以推廣引伸，引導學生提出新問題，尋求新結論。通過典型習題的“一解多變”的教學，培養學生對相關知識點的遷移能力，進而以不變應萬變去解答各種類型的題目，達到舉一反三、觸類旁通的目的。如以上各個問題之間的改變，其結論是否還成立？角度從60度變到90度時，結論又會發生怎樣的變化？讓學生在做題中自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，促使他們自己去獲取知識、發展能力。

3.通過“一題多問”培養學生的創新思維，提高學生的應變能力。“一題多問”巧妙地把同類的問題放在一起讓學生去思考、去體會、去總結，由特殊到一般，原本被動的學習在潛移默化中變為自覺自主行為；在問題中創設情境，激發探究欲望，留出想象空間，引導多維互動，反思探索過程，體驗成功樂趣。教學中學生要從問題個性中探求共性，尋求變異，自主探究，多角度、多層次去構思、延伸、開拓。如以上問題二中的追問，不但激發了學生的思維，還為下面問題埋下伏筆。多個問題放一起，通過比較，學生能認識事物本身所固有的特點（即在比較中求異），也能認識同類事物的共點特點（即在比較中求同），每遇問題便會從不同角度考慮問題，盡可能多地獲取信息，多方設想整合，提高解題時的應變能力。

在教學設計時，教師要廣泛閱讀，仔細篩選，大膽重組，編成需要的題目。問題的設置要有序、遞進，學生通過探究能夠發現規律，便于總結歸納。“一題多解”、“一題多問”和“一題多變”對數學問題進行再加工、再創新，能夠引導學生思考，便于學生自主探究，有利于激活學生的思維，拓寬學生的思路，使思維向著多方向發展；同時也能夠方便師生共同整理知識，形成良好的解題習慣，整合思維。