例談分類討論思想在解題中的應(yīng)用

摘要： 近年高考數(shù)學(xué)分類討論題學(xué)生得分率很低，本文針對學(xué)生易犯的錯誤以數(shù)道題目為例，談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮忸}中的正確應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 分類討論思想 解題 正確應(yīng)用

分類討論是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，因試題覆蓋的知識點多，知識面廣，具有明顯的“邏輯性，綜合性，探索性”的特點，能體現(xiàn)“著重考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力”的要求，所以成為歷年高考的熱點之一。從近幾年高考學(xué)生的答題情況看，分類討論題得分率很低，學(xué)生出錯往往是因為不知道何時、為何分類，在分類過程中存在重復(fù)與遺漏現(xiàn)象。本文從以下幾個方面談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮忸}中的正確應(yīng)用，和讀者共同探討。

一、概念分類型

它是由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論，如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線與平面所成的角等，這類問題應(yīng)以所定義的概念進行分類、討論，并且注意概念所受的限制。

例1.已知：A（-1，0），B（1，0），P為平面內(nèi)一點，若，｜PA｜+｜PB｜=2a，求P點的軌跡。

分析：由于2a的取值范圍直接影響著P點的軌跡，因而須比較2a與｜AB｜的大小。

解：當2a＞2，即a＞1時，由橢圓定義可知，P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓；當2a=2，即a=1時，P點的軌跡是以A、B為端點線段；當2a＜2，即a＜1時，P點的軌跡不存在。

二、運算需要型

它是由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論，如除法運算中除式不為0、在實數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)、不等式兩邊同除以一個正數(shù)還是負數(shù)、三角函數(shù)的定義域等。

例2.已知向量且 =(cos x，sin x)， =(cos ，-sin )且x∈［0， ］，若f(x)= #8226; -2λ｜ + ｜的最小值是- ，求λ的值。

分析：f(x)=2(cosx-λ) -1-2λ

令cosx=t∈［0，1］，

從而g(t)=2(t-λ) -1-2λ。

這樣就轉(zhuǎn)化成一個軸動而區(qū)間定的二次函數(shù)的最值問題。由于二次函數(shù)的對稱軸位置直接影響著函數(shù)的單調(diào)性和最值，因此我們有必要對對稱軸在區(qū)間的內(nèi)部、外部進行討論，即分λ＜0，0≤λ≤1，λ＞1三種情況。結(jié)果為λ

= 。

三、公式條件型

它是由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論，有些函數(shù)性質(zhì)、定理在不同條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立。例如：均值定理、等比數(shù)列數(shù)列前n項和公式、指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等。

例3.公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{a }的前n項和為S ，設(shè)S =，求S的取值集合。

分析：要求S，則先求S ，而等比數(shù)列{a }的前n項和公式受q=1和q≠1的制約，因而需要分類討論。

解：（1）q=1時，S =na ，S =2na ， = ，= 。

（2）q≠1時，S = ， = = 。

①｜q｜＜1時，=1；②｜q｜＞1時，=0。

綜上，S的取值集合是{0，1， }。

四、圖形位置不確定型

它是由圖形位置的不確定性引起的討論，當已知條件不能確定圖形位置時，在求解或證明的過程中，則需根據(jù)可能出現(xiàn)的圖形位置進行分類討論，此類問題在立體幾何或解析幾何中較為常見。

例4.求過點P（-1，2）且與點A（2，3）和B（-4，5）距離相等的直線L的方程。

分析一：若設(shè)直線的點斜式方程，須分斜率存在和不存在兩種情況進行討論。

分析二：按A、B在L的同側(cè)和A、B在L的異側(cè)兩種情況進行討論，即L∥AB和L過AB的中點。

答案為：x=-1和x+3y-5=0。

五、參數(shù)變化型

某些含參數(shù)的問題由于參數(shù)取值的不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法。如含參數(shù)的方程或不等式，直線的點斜式方程等，這時需要進行分類討論。

例5.解關(guān)于x的不等式：ax +2ax+1＞0。

分析：對含參數(shù)不等式的討論應(yīng)逐級進行：最高次項系數(shù)、有無實根、根的大小等。本題關(guān)鍵是確定對參數(shù)a分兩級討論，做到不重不漏。首先根據(jù)a是否為0來分類，然后按a＞0與a＜0和判別式來進行二級分類。像這種多級討

論的問題，要層次分明，每一級的分類標準明確，最后要有總結(jié)。解略。

六、其他

根據(jù)實際問題具體分析進行分類，如排列組合、概率問題，應(yīng)用問題等。

例6.由12人組成課外文娛小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，2個人既會跳舞又會唱歌，若從中選出4個會跳舞，4個會唱歌的人去排演節(jié)目，共有多少種不同的選法？

解析：設(shè)既會跳舞，又會唱歌的二人為甲、乙。

（1）按唱歌的人選分類

①唱歌從甲、乙二人中選兩人，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

②唱歌從甲、乙二人中選一人，有c#8226;c#8226;c=300種不同的選法。

③唱歌不從甲、乙二人中選，有c#8226;c=175種不同的選法。

則N=50+300+175=525

（2）按甲、乙二人是否被選出及去向分類

①甲、乙二人都被選出且都唱歌，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

②甲、乙二人都被選出且都跳舞，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

③甲、乙二人都被選出且一人跳舞一人唱歌，有c#8226;c#8226;c#8226;A=200種不同的選法。

④甲、乙二人一人被選出且唱歌，有c#8226;c#8226;c=100種不同的選法。

⑤甲、乙二人一人被選出且跳舞，有c#8226;c#8226;c=100種不同的選法。

⑥甲、乙二人都不被選出，有c#8226;c=25種不同的選法。

則N=50+50+200+100+100+25=525。

總結(jié)：從以上兩種方法可以看出，選取的分類標準不同，分類的復(fù)雜程度也不同。如何合理地選取分類標準，是值得我們在學(xué)習(xí)中摸索、探討的問題。

例7、甲、乙、丙三人進行某項比賽，每局有兩人參加，沒有平局，在一局比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為 。比賽的規(guī)則是先由甲和乙進行第一局的比賽，然后每局的獲勝者與未參加此局比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中，有人獲勝兩局就算取得比賽得勝利，比賽結(jié)束。求甲取得比賽勝利的概率。

分析：甲取得比賽勝利，即在甲勝兩局之前，乙丙沒有勝兩局的情況。為了使分類不重不漏，可以根據(jù)需比賽的局數(shù)來進行分類。

解：經(jīng)分析甲取得比賽勝利須比賽二局或四局，有以下幾種情況：①比賽兩局，即甲勝乙，甲勝丙；②比賽四局，即甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙；③比賽四局，即乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙。其概率為p= × + × × × + × × × = 。

以上只是通過幾個具體的例子分析總結(jié)了引起分類討論的原因及需要注意的問題，但分類討論畢竟是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的思想方法，要想靈活應(yīng)用，則需要我們有一定的知識積累，并在平時學(xué)習(xí)中善于歸納總結(jié)，鍛煉思維的靈活性和嚴謹性，本文旨在拋磚引玉，希望這種方法能引起大家足夠的重視。

參考文獻：

［１］汪昌政.分類整合思想方法專題復(fù)習(xí)講座.數(shù)學(xué)通報，第48卷第1期.

［２］張為茂.分類討論思想細節(jié)與高分.2008年第一版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”