宋元數學的主要成就及其影響

摘要： 本文通過簡介宋元數學的主要成就——曾乘開方法、高次方程求解法、大衍求一術、天元術、四元術等，說明宋元數學在整個數學史中占有重要地位。

關鍵詞： 宋元數學 主要成就 影響

1.宋元數學概述

宋元數學，從時間上說它包括由北宋到元末大約四百年的時間。在此期間，涌現了許多優秀的數學家，其中最卓越的代表，如通常所說的“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在數學史占有重要的地位。同時期的歐洲正處在中世紀，中國數學家的光輝燦爛成就，在部分問題的解決上，遠遠走在世界前列。

宋元數學是在漢唐數學的基礎上發展起來的，不僅賈憲、楊輝、秦九韶的數學著作都稱為“九章”，前二者甚至就是《九章》的問題編集，而且更多的數學問題都來源于《九章》，如李冶、郭守敬等人的成果。由于雕版印刷術的發達，北宋王朝在元豐七年由官方的“秘書省”刊到了《九章算術》等漢唐以來的十部算經，作為學校的課本［１］。《算經十書》作為教科書被印刷出來，對宋元數學教育以至數學研究方面所產生的影響是不言而喻的。

宋元數學之所以成為中國古代數學發展的高峰，與其當時出現的杰出數學家及其對中國當時數學有巨大貢獻的著作有密不可分的關系。以下我們就著重介紹宋元期間有重大影響的數學家及其著作。

賈憲，北宋數學家，宋元數學發展的“啟動者”。他的許多數學成果在宋元時期得到較大發展，成為某些重要的數學專題。其中最著名的是解高次方程的“增乘開方法”。由此，我們可以看到與沿用古代開平方、開立方法發展起來的任意高次冪開方法一樣，又一種與之并行的新的以“增乘方法”開任意高次冪的方法，后一種方法較前者有很明顯的優越性，它不但比古法簡單，而且經過劉益、秦九韶等人的工作，更發展成為我國數學史上大放光彩的高次方程的數值解法。

劉益，曾著有《議古根源》，現已失傳，但其中的某些問題，曾被楊輝編入《田百比類乘除捷法》（公元1275年）一書之中。

秦九韶，南宋杰出的數學家之一。于1247年寫成數學著作《數書九章》，共八十一題，分成九大類，每類各九題，九題又各立名目。

李治，其數學巨著為《測圓海鏡》和《益古演段》。在這兩本書中，李治對“天元術”進行了系統的敘述。

朱世杰，元朝著名數學家，其杰出的創作為《四元玉鑒》。朱世杰在此著作中把天元術由一個未知數推廣到二元、三元及四元的高次聯立方程組。這是中國中世紀數學家們繼天元術之后的又一項杰出的創造。

2.宋元數學的主要成就

賈憲的增乘開方法的運算法則，不論開平方，開立方以至開任何高次冪都是一致的。劉益的正負開方術不僅可以求解一般方程式，而且并不拒系數正負，實在是一項杰出的成就。所以楊輝說“劉益以勾股之術治演段鎖方，撰議古根源二百門帶益隅（首項為負者）開方實冠前古。”繼賈憲劉益之后，秦九韶進一步發展了“高次方程數值求解法”——“正負開方術”。楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下引用了《議古根源》中的二十二個問題，其中僅即乘除而未用開方算法者有題二次的兩項方程共七題，值得注意的是其中有如下兩問，這兩個問題相當于求解方程：7x２=9072，4x２=144，亦即它們的二次項系數不為1，就現有史料來看，這還是這種類型問題的首次出現。

與“高次方程數值求解法”同樣聞名世界的秦九韶的另一杰出成就即是“大衍求一術”。《數書九章》中的大衍求一術發揚光大了整數論中一次同余式問題的解法，是他的得意之作，也是中國古代數學的一項偉大成就。秦九韶青年時曾在杭州向太史局佚職的人學習天文學，了解到了一些上元積年的推算方法。他把上元積年的推算法與《孫子算經》“物不知數”題的解法聯系起來，寫出了他的大衍求一術。李冶的“天元術”與現代代數教程中列方程的方法極為相似。“天元術”為中國古代數學找到了一種普通的列方程的方法。

朱世杰在《四元玉鑒》中，把天元術由一個未知數推廣到二元、三元及四元的高次聯立方程組，這是中國中世紀數學家們繼天元術之后的又一項杰出的創造。祖頤在《后序》中說：“按天地人物立成四元，以元氣居中，天勾（x），地股（y），人弦（z），物黃方（w），上升下降，左右進退，互通變化，乘除往來，用假象真，以虛向實，錯綜正負，分成四式，必以寄之，剔之，余籌易位，橫沖直撞，精而不雜，自然而然，消而和會以成開方之式也。”［３］這段文字介紹出四元術的主要內容。

3.宋元數學的影響

上文所提宋元數學家的代表著作中提出許多具有世界意義的杰出成就，其中主要是賈憲、劉益、秦九韶的高次方程數值解法（增乘開方法），秦九韶的聯立一次同余式的解法（大衍求一術），李冶《測圓海鏡》中的立方程的方法（天元術），以及朱世杰的《四元玉鑒》中的多元高次聯立方程的解法（四元術），除上文介紹的宋元數學家的杰出成就，還有楊輝的著作和朱世杰《算學啟蒙》中的大部分內容反映了民間實用數學的迫切需要，并且對籌算計算方法進行了改革，使之簡化，尋求各種“捷法”，改進各種計算用的“歌訣”，等等。朱世杰在《四元玉鑒》中還對各種有限項級數求和問題進行了研究，并在此基礎上得出高次差的招差公式。

縱觀古今，宋元數學家將前人的數學成就發展到一個更高階段，而繼宋元之后的明清數學發展緩慢，再沒有明顯的進步。因此說，宋元數學達到了中國古代數學登峰造極的地位。

如果把這些成就和世界上其他地區的同樣成果相比較，宋元數學中的高次方程數值解法，實質上是和霍納（W.G Horner，1819）方法相同的，如按奏九韶《數書九章》（1247）來進行比較，霍納要晚出五百余年；朱世杰多元高次方程組的解法比別朱（E.Be’zowt，1775）早出四百余年，秦九韶聯立一次同余式的解法比歐拉的解法早出五百余年，高次的招差法公式比格利高里和牛頓的公式早出三百七十年左右。可以看出：宋元數學不僅是中國古代數學史上光輝的篇章，同時還是中世紀世界數學史上最豐富多彩的一頁，盡管是在中世紀交通極為不便的情況下，宋元數學對朝鮮、日本及西至北非地區某些國家之間數學知識的交流和發展仍都產生了一定的影響。

參考文獻：

［1］錢寶琮.宋元數學史論文集［M］.科學出版社，1985.

［2］梁宗巨.世界數學通史［M］.遼寧教育出版社，2001.