將靜電場的“高斯定理”推廣至萬有引力場

摘要： “高斯定理”是電磁學中一個重要定理，在理論構建和實際應用上都有著重要意義。本文牢牢抓住靜電學高斯定理成立的核心條件——靜電力滿足平方反比律和疊加原理，通過類比分析，發現萬有引力具有相同的特點，可以引入“源—場強度—通量”這一套研究體系進行處理，進而建立起萬有引力場的“高斯定理”，并討論了這一理論在實際應用中的優越性。

關鍵詞： 高斯定理 萬有引力場 建立 應用

1.引言

高斯定理是物理學中一個非常重要的內容。一直以來，國內外學術界對高斯定理的研究偏重于應用方面，且較為零散，主要集中于電磁學領域［１］［２］［３］，如求解電力線方程、求電場強度、結合一些對稱性進行計算簡化等，但是對高斯定理從理論上進行全面系統的分析并進行推廣的卻相對較少。實際上，在傳統研究的基礎上，把高斯定理推廣到物理學中的其他領域（比如力學）及其他數學表述形式（二維平面形式、復變函數形式）都將具有深刻意義［２］［３］，可以加深對高斯定理的含義的理解和運用的掌握，展示出高斯定理在大學物理中應用研究的廣泛性。本文對“高斯定理”這一理論研究形式在萬有引力場推廣的可能性進行討論，期望能夠幫助大家更本質地把握高斯定理。

2.萬有引力與靜電力的對比

2.1平方反比律

以萬有引力為例，眾所周知，作為力學領域和電磁學領域奠基性的定律，萬有引力定律與庫侖定律均滿足平方反比律［４］［５］：

F =G ；F = #8226; （1）

（G、ε 分別為引力場量、真空中的介電常數）

在電磁場中，高斯定理建立的理論基礎是庫侖定律，其核心是庫侖力的平方反比律，這一點在電磁學中的證明已經體現得淋漓盡致。于是，我們便自然地想到：同樣滿足平方反比律的萬有引力場中，理應可以建立類似的“引力場高斯定理”，從而將引力場理論豐富完善，甚至可幫助我們在相關領域內簡化計算。

2.2疊加原理

當然，我們不能忽略證明電磁學高斯定理的另一重要實驗基礎——庫侖力可疊加性［５］。這是由實驗嚴格證實的，獨立于庫侖定律的一個重要事實。其公式表述為：

點電荷離散分布情況：F= F （2）

電荷連續分布情況：F=#8226;

=#8226; （3）

而在萬有引力場中，質點m受到多個質點m （d=1，2，3…n）的引力作用時，m受到的總的引力是各質點單獨存在時m受到引力的矢量和［４］［６］：

F= F （即同樣滿足疊加原理）（4）

若求m與連續體M之間的萬有引力，利用疊加原理，將連續體看作多“質點”組成，所以F可用積分的方法求得：

F== ρ（ρ為連續體體密度）（5）

因此，我們發現，萬有引力與庫侖力一樣，均滿足平方反比律和疊加原理，因此，可以考慮引入電磁學對“電場”的研究方法去討論“萬有引力場”，著重從“場通量”角度切入，從而建立起反映“場通量”與“源（物質）”之間關系的“高斯定理”。

3.萬有引力場的“引力場強度矢量”的引入

電場強度作為電磁學中極其重要的一個物理量，從“力”的角度描述了“場”點的電學特性，其定義是單位點電荷在電場中所受的電場力，用公式形式表示即為[5]：

= （其中q 為場點處的試探電荷）（6）

=（7）

根據前面分析，我們同樣可在萬有引力場中定義一矢量“萬有引力場強”，其方向與質點在該場中的受力方向一致，大小等于單位質點在場中所受到的萬有引力的大小，用公式表示為：

= =-（8）

（其中，r為該點與萬有引力場源的距離，M為萬有引力的場源，“-”表示方向為吸引）。

這樣，引入“萬有引力場強”這一矢量后，我們對萬有引力的討論不再局限于超距作用理論的點對點作用，對場自身的討論成為更重要的內容。同樣，我們也可用法拉第提出的“場線”形式去描述引力場的特點，此時，矢量將派上大用場。

4.萬有引力場的“高斯定理”的建立

首先，回顧一下靜電場高斯定理的內容：電場中任一閉合閉面的電通量等于該曲面內電荷的代數和除以ε：

Φ= #8226;d = （9）

在電磁學中已經討論得非常清楚——靜電場的高斯定理是靜電力滿足庫侖平方反比定律和疊加原理的必然結論。因此，萬有引力場也必定存在與上式形似的“高斯定理”，無須證明即可得出：萬有引力場中對任一閉合曲面的引力場強的通量等于該曲面內所包含的總質量M除以- ，用公式表示得：

Φ萬=#8226;d = =-4πG M （10）

至此，我們通過深入分析萬有引力與靜電力之間的相似點，成功地建立了萬有引力場的“高斯定理”，將空間中任意一區間的萬有引力場強通量與該區域內的源物質聯系起來，開拓了我們研究的視野，方便了計算和分析，同時也讓我們更深刻地認識到“源—場強度—通量”這一套研究體系要比傳統的“點對點”的超距作用觀點更進步、更合理、具有更廣泛的實用性。因此，我們得出一個結論：在處理物理學領域的其他不同類型“力”時，只要其同時滿足平方反比律和疊加原理，就可以運用“源—場強度—通量”這一套研究體系進行處理，并能從更高的角度分析問題、解決問題。“高斯定理”便是其中的必然理論之一。

5.應用

萬有引力定律的高斯定理不但可以幫助我們對理論的構建更清晰，還能幫助我們解決一些實際的難題，現給出一個例子進行說明。

例：如圖1所示，科學家們試圖在火星上挖出一直隧道縱貫兩半球（假設火星為一標準球體，且隧道無限光滑），隧道離火星中心垂直距離為l，火星半徑為R，密度已知為ρ。現將一質量為m的小球放入隧道一端，試討論小球在火星內部的運動情況。

分析：此問題的困難之處在于當小球位于火星內部時，它所受到的萬有引力來自四面八方均勻但不對稱分布的火星物質，此時其受力情況復雜，難以直接運用牛頓定律求解。但是，注意到火星可看做標準球體，且密度恒定，因為其激發的萬有引力場是具有高度的球對稱性，所以我們可以運用高斯定理進行處理，使問題得以簡化。

解：如圖1所示：沿隧道方向建立坐標系（取隧道為X軸），通過火星中心向X軸作垂線并相交于一點o′，令此點為X軸坐標原點。當小球位于P點時，其到火星中心o點距離為r，到坐標原點o′距離為x。小球在該點處的受力情況便可用其質量與該點引力場強（僅決定于火星，因小球相對于火星太小，為試探物體，對該點場影響可忽略）乘積表示出來。故第一步是求P點處的引力場強。根據對稱性分析，可以o為中心，r為半徑過P點作一高斯面S，則對球面S的通量可由高斯定理表示出來：

Φ萬=#8226;d =-#8226;4πr =-4πG#8226; M

=4πG#8226; πr ρ（11）

E = πρGr（12）

利用公式（8），小球受力：

F=mE = πρGrm（13）

又由于受到隧道束縛且隧道無限光滑，物體在水平方向上（沿X軸方向）受力僅為F在x軸上的分力：

F =F#8226; = πρGmx（14）

現在，問題的困難部分已解決，剩下的便是運用牛頓定律求解了。根據牛頓第二定律：

F =m =- πρGmx（15）

=- πρGx（16）

這是大家非常熟悉的簡諧振動微分方程，解之，得：

諧振頻率：ω= （17）

振動周期：T= = （18）

于是，我們可知小球在隧道中作簡諧振動，穿越時間為 =，與m、l等因素無關。

6.小結

本文通過對靜電力與萬有引力的類比分析，通過引入“引力場強度矢量”，建立起萬有引力場的“高斯定理”，指出“高斯定理”這一理論形式的實質是將空間場通量與該空間區域包含的源物質進行的關聯。由此可見，與靜電場中的高斯定理作用相似，萬有引力高斯定理同樣因為利用了場源對稱性，化微分為積分形式，從而大大簡化了計算，方便了問題的處理。

參考文獻：

［1］郭文立.靜電場中高斯定理的證明與證明中存在的一個問題［J］.濮陽教育學院學報，2001，11（4）：43-45.

［2］籍延坤.高斯定理的數學證明［J］.大連鐵道學院學報，2004，9（3）：13-16.

［3］羅琬華.論“場”和“源”的統一——再論麥克斯韋方程組的意義［J］.西南師范大學學報，2001，26（1）：25-27.

［4］漆安慎，杜嬋英.力學［M］.北京：高等教育出版社，1997：43-44.

［5］趙凱華，陳熙謀.電磁學上冊（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1985：53-61.

［6］蔡伯濂.力學［M］.長沙：湖南教育出版社，1986：152-213.

［7］凌德洪，王海興，鳳孟琨.電學［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1981：4-83.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>