根軌跡繪制過程中的簡便方法探討

摘要本文針對自動(dòng)控制原理的根軌跡繪制過程中出現(xiàn)的特殊情況，從理論上詳細(xì)證明了這種情況下根軌跡的簡便畫法，并給出了應(yīng)用的實(shí)例。

關(guān)鍵詞自動(dòng)控制 根軌跡 圓弧

中圖分類號:O1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

1 引言

在經(jīng)典控制論中對自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析時(shí)，常常采用根軌跡法，這是一種利用系統(tǒng)的開還傳遞函數(shù)研究閉環(huán)系統(tǒng)性能的圖解法，系統(tǒng)的根軌跡圖明確建立了系統(tǒng)的參數(shù)變化與性能之間的關(guān)系，因而無論對于系統(tǒng)靈敏度或抗干擾能力的研究，或是對自適應(yīng)系統(tǒng)特性的研究，它都是一種恰當(dāng)?shù)姆椒?。再者，由于系統(tǒng)零點(diǎn)、極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)之間的聯(lián)系，根軌跡法除了獲得系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的信息外，也是獲得系統(tǒng)頻率響應(yīng)信息的有力工具。但是作根軌跡圖時(shí)傳統(tǒng)方法所依據(jù)的十條法則比較繁瑣，給系統(tǒng)性能分析帶來不便，為此當(dāng)我們遇到一些特殊情況時(shí)，就可以采用特殊的方法繪圖，使作圖過程簡化。

2 問題分析

在利用根軌跡分析問題時(shí)常常會(huì)遇到這種情況(如圖1)所示，系統(tǒng)僅具有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，這時(shí)的根軌跡有可能是直線，也有可能是圓弧，可以證明，若根軌跡一旦離開實(shí)軸，必然沿著圓弧移動(dòng)。

證明如下:

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，零極點(diǎn)分布如圖所示。取非實(shí)軸上一點(diǎn)S，若S點(diǎn)在根軌跡上，則應(yīng)滿足相角條件:

圖1

若幅角用反正切表示，則:

方程左邊用反三角函數(shù)得恒等關(guān)系得:

方程兩邊取正切后得:

經(jīng)過化簡后整理得:

方程兩邊同時(shí)加Z2項(xiàng)，則有:

即這是個(gè)圓的方程。圓心(-Z，0)正好在開環(huán)零點(diǎn)上，半徑為兩個(gè)極點(diǎn)-P1，-P2到零點(diǎn)距離相乘的平方根

結(jié)論:當(dāng)系統(tǒng)具有(如圖1所示)兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)在復(fù)平面內(nèi)的根軌跡部分為以零點(diǎn)(-Z，0)為圓心，以兩個(gè)極點(diǎn)-P1，-P2至零點(diǎn)的距離乘積的平方根R為半徑的圓。同樣可以證明，當(dāng)極點(diǎn)為共軛復(fù)根(如圖2b所示)時(shí)，非實(shí)軸的根軌跡為圓弧。這樣我們以后遇到這種情況時(shí)，就可直接根據(jù)圓心及半徑繪出根軌跡，使作圖過程得到簡化。

3 應(yīng)用實(shí)例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，

試畫出系統(tǒng)隨K*變化的根軌跡。

解:系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)，分別是P1=0，P2=-2，Z=-4零極點(diǎn)分布如圖所示。實(shí)軸根軌跡區(qū)間為(-2，0)以及(-∞，-4)，非實(shí)軸上的根軌跡根據(jù)前面得出的結(jié)論為以(-4，j0)為圓心，半徑R==2.83的圓(如圖3所示)。這樣我們就可以很快繪出根軌跡。

當(dāng)我們用MATLAB繪圖時(shí)得到了同樣的結(jié)論。

4 結(jié)束語

文中證明了當(dāng)采用根軌跡分析問題時(shí)，系統(tǒng)僅具有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)這種特殊情況存在時(shí)，繪制根軌跡的簡易方法，使在用根軌跡這種圖解法分析問題時(shí)的作圖得到了簡化。

參考文獻(xiàn)

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