例談數學操作性實驗課

凌 玲

長期以來，人們一般認為“實驗”只是物理和化學的事，與數學無關。其實，數學中的許多概念、定理、公式都是通過實驗發現的。

數學概念、定理的形成一般來自于解決實際問題或數學自身發展的需要，教材上常常隱去其形成的思維過程，而通過實驗可以再現這些過程。教師在教學時，要根據需要設置合理情境，巧搭數學實驗平臺，引導學生參與數學概念、定理的形成過程，使學生在動手中弄清概念、定理的來龍去脈，從而能對其加深理解，準確把握。數學的實驗課有操作性實驗課、思維性實驗課、計算機模擬實驗課等幾種類型。本文略談數學操作性實驗課的教學方法。

操作性數學實驗教學是在一定的情境中，引導學生通過對一些工具、材料的操作，探索數學知識，檢驗數學結論(或假設1。這種實驗常用于與幾何圖形有關的知識、定理、公式的探究或驗證。操作性實驗教學的一般步驟是：教師提出問題→學生實驗→觀察分析→猜想結論→交流校正→驗證或證明。

譬如，在學習橢圓時，可以這樣引導學生通過實驗操作來探究橢圓的概念：全班每兩個學生分為一組，課前準備兩枚圖釘、一根細線、一張白紙、一支鉛筆，課堂上按以下程序進行操作、思考。

試驗一：取適當長度(2α)的細線，在細線兩端系上圖釘，將圖釘分別按在鋪有白紙的桌面上兩點F₁、F₂、處，F₁與F₂距離的選取滿足｜F₁F₂｜<2a，用鉛筆靠在細線上并拉緊細線，轉動一周，畫出一個橢圓。

作完圖以后，要求學生思考如何給出橢圓的定義。其中，教師可適當提示在作圖的過程中，哪些量是變化的，哪些量是不變的，引導學生發現動點、定點和定長，并進一步發現所畫曲線上的每個點具有的共同特征。

試驗二：改變細線的長度，使2α=｜F₁F₂｜，按照試驗一的方法操作鉛筆，能得到什么結論?

試驗三：改變細線的長度，使2α<｜F₁F₂｜，按照試驗一的方法操作鉛筆，出現什么現象?

學生們會發現，當2α=｜F₁F₂｜時，畫不出橢圓，只能得到一條線段；當2a<｜F₁F₂｜時，畫不出任何圖形。此時，要求學生思考，橢圓的完整定義是什么，讓學生自己體驗在橢圓定義中加入2a>｜F₁F₂｜這個限制條件的必要性。

在討論橢圓的離心率的時候，可以在前面畫橢圓實驗的基礎上，設計以下試驗：

1F₁、F₂位置不變，在滿足條件2a>｜F₁F₂｜的前提下，改變2n的長度，作出橢圓的圖形，并比較這些橢圓的形狀有什么不同。

2細線長2α不變，在滿足條件2a>｜F₁F₂｜的前提下，改變F₁F₂的位置，作出橢圓的圖形，并比較這些橢圓的形狀有什么不同。

通過這兩個試驗，學生們發現，有些橢圓的形狀比較“圓”，有些比較“扁”，而這顯然與細線長2α、｜F₁F₂｜即焦距2c有關。進一步再引導學生通過探討得出：當c與α相比很小，即離心率e=c／a越接近0的時候，橢圓越“圓”；當c與α越接近，即e=c／α越接近1的時候，橢圓越“扁”。

在上述實驗過程中，橢圓的概念、性質不是作為結果直接告訴學生的，而是通過學生動手操作、探究獲得的，這是一個主動構建知識的過程，在這一過程中課堂真正還給了學生。學生之間的分工協作，既加強了數學交流，培養了團隊合作精神，又使學生思維的深刻性得到加強。

又如，在概率教學中學習等可能事件的時候，可以引進按以下步驟進行的實驗：

步驟一：創設情境，提出問題

本周末有個學術報告會，小張和小王都很想去，但是只有一張票，大家能否幫小張、小王想個辦法來決定誰去聽報告會。甲同學建議采取擲硬幣的辦法，任意拋出一枚均勻的硬幣，若其正面朝上，小張去，若反面朝上，則小王去。大家想一想：這個辦法公平嗎?

步驟二：進行實驗，收集數據

1同桌兩人做20次擲硬幣的游戲，一人擲硬幣，一人負責記錄數據，兩人合作借助計算器計算硬幣正面朝上的頻率和反面朝上的頻率，并填寫記錄表格。

2匯總各組實驗數據，累計全班同學的試驗結果，分別計算試驗累計進行到20次、40次、80次、120次……400次時硬幣正面朝上的頻率，并完成折線統計圖。觀察這個統計圖，你發現了什么規律?

步驟三：驗證猜想，形成概念

以下是幾位數學家所作的擲硬幣試驗的數據統計，它與你所發現的規律相符合嗎?

通過這個實驗讓學生體會到：任意擲一枚均勻的硬幣，在大量重復的實驗中，它正面朝上的可能性和反面朝上的可能性都相等，都趨向于0.5。由此引出“等可能事件”和“概率”的概念。

在數學實驗中，學生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成了一個參與者，因此，學生對實驗的結果、產生結果的原因、涉及的新知識、方法等產生強烈的興趣，這就有利于培養學生的創新思維。另外，在實驗中還涉及很多數據和實驗信息，學生通過幾個不同范圍的合作互動，探索出實驗的結果，從而培養了學生搜集、處理信息的能力以及合作精神。

(責編王學軍)