中學生數學能力結構文獻述評

瞿 勇

摘要：能力結構是指能力內部各要素、成分之間合乎規律的組織形式。教學能力是順利而有效地完成數學活動的個性心理特征。已有的文獻主要集中在兩個方面：能力結構的論述和研究。在研究結果上幾乎都提到了運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，在研究方法上，使用了描述性統計、推斷統計和多元統計。對于不同類型的學校學生的數學能力結構是否有顯著差異，以及對于日常教學的改善是有待研究的問題。

關鍵詞：中學生數學能力結構述評

能力是指影響人的心理活動的效果和效率的心理特征。能力結構是指能力內部各要素、成分之間合乎規律的組織形式。數學能力是順利而有效地完成數學活動的個性心理特征。關于數學能力的分類紛繁復雜，本文將對中學生的數學能力結構做一個述評。

一、已有的數學能力結構研究概述

教學大綱中小學數學教學大綱把數學能力分為運算能力、邏輯思維能力和空間觀念，并包括能夠運用所學知識解決簡單的實際問題的能力。運算能力是運算技能與邏輯思維能力的結合。邏輯思維能力是要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，會用歸納、演繹和類比進行推理，會準確闡述自己的思想和觀點'形成良好的思維品質。

(一)根據筆者收集的資料來看，已有的文獻主要集中在兩個方面：

1.中學生數學能力結構的論述

王朝霞、張慶認為數學能力結構主要由運算能力、空間想象能力和邏輯思維能力構成。周學海在《數學教育學概論》中提出，數學能力結構的基本成分為：數學觀察能力、數學記憶能力、邏輯思維能力和空間想象能力。鄭君文、張恩華所著的《數學學習論》寫道：數學能力由運算能力、空間想象能力、數學觀察能力、數學記憶能力和數學思維能力組成。王岳庭等提出五種數學能力成分構想：數學抽象能力、數學概括能力、數學推理能力、數學語言應用能力、數學直覺能力(《數學教學》1990年第6期)。孫宏安提出：數學能力應包括計算能力、數學證明能力、空間想象能力和數學問題解決能力(《現代數學教育理論》)。張士充從認識過程角度出發，提出數學能力的四組八種能力成分。國家新頒布的《高中數學課程標準》則從學科教育的角度指出：“要培養學生邏輯思維能力、運算能力和空間想象能力，以逐步形成運用數學知識解決問題的能力。”而孫以則綜合以上觀點，在“數學能力的成分及其結構”一文中提出，數學能力分為基礎能力(數學觀察力、注意力、記憶力、運算能力)；核心能力——數學思維能力(數學抽象能力、邏輯思維能力、創造性思維能力和空間想象能力)；綜合性數學能力(數學問題解決能力)。吳偉鴻在“談中學數學能力結構與測試”中提出，中學數學能力結構由獲得數學信息的能力、數學信息的加工能力、數學信息的貯存能力、數學信息的轉化能力。

2.中學生數學能力結構的研究

(1)有關的期刊論文

前蘇聯心理學家克魯捷茨基認為數學能力包括三個組成部分：1.數學材料的形式化感知；2.概括數學材料的能力；3.對數學材料的記憶力。(《中小學數學能力心理學》)。

卡洛爾采用探索性因素分析和驗證性因素分析以及項目反應理論對數學能力進行了研究，得出了認知能力的三層理論：一般智力為第三層；第二層包括流體智力，晶體智力，一般記憶和學習、視覺、聽覺，恢復能力、認知速度、加工速度；第一層包含了100多種能力。

林崇德認為：第一，數學能力結構應當包括傳統的三種基本數學能力(運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、以及五種數學思維品質(思維的深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性)。

司徒偉成對中學生數學水平的測量與評價進行了研究，得出了幾種主要能力結構：邏輯思維與演算能力以及空間思維與想象能力。

陳仁澤等對廈門市四類中學(高中)入學考試分別進行了Q型與R型因素分析，通過對指標體系矩陣的研究，找出并估計出支配所有指標的四種數學能力：主因素Ⅰ(占總分25％)為抽象概括能力；主因素Ⅱ(占總分26.66％)為綜合運算能力；主因素Ⅲ(占總分38.3％)為思維轉換能力；主因素Ⅳ為邏輯推理能力。

張君達等在智力與能力發展理論的基礎上，重點對組成超常兒童數學能力的因素進行了結構分析。通過因素分析的方法抽出了五個主因素，即綜合運算能力、邏輯思維能力：抽象概括能力、空間想象能力、靈活的形象思維能力。

胡中鋒采用經典測驗理論與項目反應理論相結合，以及探索性因素分析與驗證性因素分析相結合的方法，對高中生的數學能力結構進行了研究。結果得出了高中生數學能力結構的四因素模型。四因素為邏輯運演能力、邏輯思維能力、空間思維能力、思維轉換能力。非常巧合的是，這里四個能力的歸類正好與傳統高中數學的分科教學(解析幾何、代數、立體幾何、三角)相一致。

(2)有關的碩士學位論文

潘榕在碩士學位論文“新課程下初中數學能力因素分析”中以新課程標準下第三學段的內容標準為測試范圍，編制了包括數概念及其運算、方程與不等式、幾何量及其關系、幾何證明、統計推理等十個測試項目的測試題，選擇初中生為研究被試，采用因素分析的方法，結合數學學習心理學中有關知識的表征、思維過程、影響遷移過程的因素的研究成果，通過對三因素、四因素、五因素三種結果的分析和比較，得出四因素數學能力構成，即數形推理能力、抽象能力、數式運演能力、表象操作能理力。

杜先存在其學位論文《云南民族中學高一學生數學水平調查及思考》中對云南民族中學高一年級的全體學生的實際數學能力的情況進行了測試，并對測驗結果進行了分析，得出結論：學生的實際數學能力發展水平差異顯著，整體實際數學能力水平不高，大部分學生的實際數學能力并不像我們想象的那么好，尤其是運算能力。總的來說，學生的推理能力較強，其次是判斷能力，而較差的是應用能力，最差的是運算能力。

(3)文獻的評述

通過以上的分析可以看出，各位學者在中學生的數學能力結構和成分問題上各抒己見，可謂是“百花齊放、百家爭鳴”，但在論述的內容和研究的結果中幾乎都提到了運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，這和目前的教學大綱的內容是基本吻合的。

(二)在研究方法上主要分成以下幾種：

1.非量化研究

克魯捷茨基所研究的數學能力。實際是學生感知數學問題的能力。他采用的方法是活動分析法。這就導致克魯捷茨基所研究的數學能力存在兩個問題：一是能力理解的片面性；二是研究方法的主觀性。由于沒有采用較為科學的量化研究方法，因此其研究結果缺乏客觀性。

2.描述性統計

杜先存測試的原則是知識技能結合、難度、時間原則。被試對象的選取存在選取好生與差生比例不當、男女比例不協調的問題，并使用客觀的評分方法。缺陷是統計

方法過于簡單，只使用描述性的統計，難以得到更深入的結論。

馮國東通過與教師進行座談和對學生進行測驗相結合的辦法來考查學生的數學能力，但統計方法仍局限于描述性的統計。

3.推斷統計

范敘保等對初一和初二學生進行數學能力成分性別差異研究，測試題分為四個部分，分別考查四種能力。選題的原則是能力單一、層次區分、雙基適度、數學應用。統計方法使用了均值差與方差比檢驗，還進行了智力與非智力因素的調查問卷分析。缺陷是實驗的范圍較小。

4.多元統計

司徒偉成及編制量表方法是采用的經典測驗理論，因素分析是采用的探索性模型，難以克服傳統方法本身的局限性。

陳仁澤進行的是正交旋轉的因素分析，即假定各分測驗之間不存在相關。顯然，此假設不一定符合事實。另外，這里采用的高中入學考試成績沒有編制量表，也沒有量表的質量指標。因此。整個研究的信度、效度缺乏足夠證據。

胡中鋒采用經典測驗理論與項目反應理論相結合，以及探索性因素分析與驗證性因素分析相結合的方法，對高中生的數學能力結構進行了研究。根據已經編制的數學成就測試量表，從1291名被試中先隨機抽取接近50％的被試進行探索性因素分析，再采用驗證性因素分析計算幾種模型的擬合程度。結果得到，4因素模型的擬合程度最高。接下來，又進行了高層因素分析，發現4因素模型再也無法抽出多于一個的公共因素。因此，得出中學生數學能力結構由4個因素組成。

潘榕的初中生數學能力測試問卷的編制分為三個階段：問卷結構設計、編寫測試題目、進行測試。測試對象為初三年級學生，北京9所中學，天津3所中學，共計629名學生。統計使用因素分析的方法，分成三因素、四因素和五因素。

二、有待研究的問題展望

(一)不同學校的差異研究

以上大部分的研究都是大范圍的考查中學生的數學能力結構與成分，而對于在校工作的某一位教師而言，他更注重本校學生的數學能力。不同類型的學校，學生的數學能力結構會有顯著差異嗎?例如，民辦初中的生源好于公辦初中；重點高中的生源好于普通高中，那么學生的數學能力是否有顯著差異?如果有，主要體現在哪些成分?

(二)培養的目標和日常教學的研究

究竟中學生的數學能力結構應該達到怎樣的目標?該如何通過平時的教學去落實、去培養?這些都是值得我們注意和思考的問題。我們當前的數學教學是否過分重視了某些方面的能力而忽視了另一些方面的重要能力呢?比如，我們是否過分重視了運算能力的培養，而忽視了學生問題解決能力的培養?是否過分重視了邏輯思維能力的培養，而輕視了解決實際問題能力的培養?